专题2 导数中的二次求导-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版)

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导数中的二次求导
1 二阶导数的概念
如果函数
y=f(x)
的导数
f ' (x)
在
x
处可导，则称
y '
的导数为函数
y=f(x)
在
x
处的二阶导数，记为
f''(x)
.
Eg 若函数
，则
f'
(
x
)
=3x2
，
f''
(
x
)
=
[
f'
(
x
)
]
'=
[
3x2
]
'=6x
.
2二阶导数的意义
二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的
凹凸性.
若在
(a , b)
内
f''
(
x
)
>0
，则
f(x)
在
(a , b)
内为凹函数；若在
(a , b)
内
f''
(
x
)
<0
，则
f(x)
在
(a , b)
内为凸函数；
Eg
f
(
x
)
=ex
，其二次导数
f''
(
x
)
=ex>0
，为凹函数；
f
(
x
)
=lnx
，其二次导数
f''
(
x
)
=−1
x2<0
，为凸函数；
了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.
3 二次求导的运用
① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号
f ' ' (x)
.
② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，
(i)
使用场景：某些函数一次求导
f'
(
x
)
后，解
f'
(
x
)
>0
和
f'
(
x
)
<0
难度较大或甚至解不出(即很难得到
f'
(
x
)
的
正负性)，则需要进行”二次求导”.
(ii)
思考：若能知道
y=f'
(
x
)
的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，
分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；
(ii i)
解题步骤：设
g
(
x
)
=f'
(
x
)
，对
g
(
x
)
求导
g'
(
x
)
，求出
g'
(
x
)
>0
和
g'
(
x
)
<0
的解，便可得到
g
(
x
)
的单调性，
进而求其最值，不难得到
g
(
x
)
=f'
(
x
)
的正负性，由图可知原函数
f(x)
的单调性.
若
g'
(
x
)
>0
也很难求解呢？那就要三次求导.
【题型一】判断函数的凹凸性
【典题 1】判断以下几个超越函数的凹凸性
(
1
)
f
(
x
)
=x ∙ ex
(
2
)
f
(
x
)
=ex
x
(
3
)
f
(
x
)
=x ∙lnx
1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
(
1
)
f
(
x
)
=lnx
x
(
2
)
f
(
x
)
=x
lnx
(
3
)
f
(
x
)
=x
ex
【题型二】 二次求导与函数的单调性
【典题 1】若函数
f
(
x
)
=sinx
x
，
0<x1<x2<π
，设
a=f
(
x1
)
, b=f(x2)
，试比较
a , b
的大小.
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