专题2 导数中的二次求导-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (解析版)

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导数中的二次求导
1 二阶导数的概念
如果函数
y=f(x)
的导数
f ' (x)
在
x
处可导，则称
y '
的导数为函数
y=f(x)
在
x
处的二阶导数，记为
f''(x)
.
Eg 若函数
，则
f'
(
x
)
=3x2
，
f''
(
x
)
=
[
f'
(
x
)
]
'=
[
3x2
]
'=6x
.
2二阶导数的意义
二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的
凹凸性.
若在
(a , b)
内
f''
(
x
)
>0
，则
f(x)
在
(a , b)
内为凹函数；若在
(a , b)
内
f''
(
x
)
<0
，则
f(x)
在
(a , b)
内为凸函数；
Eg
f
(
x
)
=ex
，其二次导数
f''
(
x
)
=ex>0
，为凹函数；
f
(
x
)
=lnx
，其二次导数
f''
(
x
)
=−1
x2<0
，为凸函数；
了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩.
3 二次求导的运用
① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号
f ' ' (x)
.
② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用，
(i)
使用场景：某些函数一次求导
f'
(
x
)
后，解
f'
(
x
)
>0
和
f'
(
x
)
<0
难度较大或甚至解不出(即很难得到
f'
(
x
)
的
正负性)，则需要进行”二次求导”.
(ii)
思考：若能知道
y=f'
(
x
)
的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，
分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤；
(ii i)
解题步骤：设
g
(
x
)
=f'
(
x
)
，对
g
(
x
)
求导
g'
(
x
)
，求出
g'
(
x
)
>0
和
g'
(
x
)
<0
的解，便可得到
g
(
x
)
的单调性，
进而求其最值，不难得到
g
(
x
)
=f'
(
x
)
的正负性，由图可知原函数
f(x)
的单调性.
若
g'
(
x
)
>0
也很难求解呢？那就要三次求导.
【题型一】判断函数的凹凸性
【典题 1】判断以下几个超越函数的凹凸性
(
1
)
f
(
x
)
=x ∙ ex
(
2
)
f
(
x
)
=ex
x
(
3
)
f
(
x
)
=x ∙lnx
【解析】
(
1
)
f'
(
x
)
=
(
x+1
)
ex
，
f''
(
x
)
=
(
x+2
)
ex
，
故
f(x)
在
(−∞ ,−2)
上凸，在
(−2,+∞)
上凹；
(2)
f'
(
x
)
=
(
x−1
)
ex
x2
，
f''
(
x
)
=
(
x2−2x+2
)
ex
x3
，故
f(x)
在
(−∞ , 0)
上凸，在
(0,+∞)
上凹；
(3)
f'
(
x
)
=lnx+1
，
f''
(
x
)
=1
x
，故
f(x)
在
(0,+∞)
上凹；
【点拨】对于常见的超越函数，需要了解下它们的图象，特别是凹凸性，日后会经常见到它们的踪影，比
如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.
1(★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
(
1
)
f
(
x
)
=lnx
x
(
2
)
f
(
x
)
=x
lnx
(
3
)
f
(
x
)
=x
ex
【答案】
1 (1)
f(x)
在
(0, e
3
2)
上凸，在
(e
3
2,+∞)
上凹 (2)
f(x)
在
(0,1)
上凸，在
(1,+∞)
上凹
(3)
f(x)
在
(−∞ , 2)
上凸，在
(2,+∞)
上凹
【题型二】 二次求导与函数的单调性
【典题 1】若函数
f
(
x
)
=sinx
x
，
0<x1<x2<π
，设
a=f
(
x1
)
, b=f(x2)
，试比较
a , b
的大小.
【解析】(要比较
a , b
的大小，显然想到
y=f
(
x
)
单调性)
f'
(
x
)
=xcosx−sinx
x2
，设
g
(
x
)
=xcosx−sinx
，
(要知道原函数
y=f
(
x
)
的单调性，则分析
y=xcosx−sinx
的正负性，而它不太好分析，可构造函数
y=g
(
x
)
二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)
则
g'
(
x
)
=−xsinx+cosx −cosx=−xsinx
当
0<x<π
时，
g'
(
x
)
<0
，即
g
(
x
)
在
(0, π)
上递减，
∴g
(
x
)
<g
(
0
)
=0
，(此时得到函数
y=g
(
x
)
的草图，正负性便确定)
∴f'
(
x
)
<0
，
∴f
(
x
)
在
(0, π)
上递减，
∴
当
0<x1<x2<π
，
f
(
x1
)
>f(x2)
，即
a>b
.
【点拨】
① 要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性；
② 当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数
y=kx+b
”， “二次型导
数
y=a x2+bx +c
”，“指数型导数
y=k ex+b
”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导.
【典题 2】求函数
f
(
x
)
=ln2
(
x+1
)
−x2
1+x
的单调性.
【解析】
f(x)
的定义域是
(−1,+∞)
，
f'
(
x
)
=2 ln
(
x+1
)
x+1−x2+2x
(
x+1
)
2=2
(
x+1
)
ln
(
x+1
)
−x2−2x
(
x+1
)
2
，
设
g
(
x
)
=2
(
x+1
)
ln
(
x+1
)
−x2−2x
，
(导函数
y=f'
(
x
)
的正负性与
y=g(x)
一致，
y=g(x)
不能因式分解，函数较为复杂，要判断它的正负性，
若能知道它的图象就好了，便想到二次求导)
则
g'
(
x
)
=2 ln
(
x+1
)
−2x=2[ln
(
x+1
)
−x]
，
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