专题02 空间向量与立体几何（中档题） 期末常考题型精选（解析版）-2021-2022学年上学期高中数学期末常考题精选（人教A版2019）

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专题 02 空间向量与立体几何（中档题） 期末常考题型精选
一．选择题（共 6小题）
1．在长方体 中， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：在长方体 中， ，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，1， ， ，0， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故选： ．
2． 在 长 方 体 中 ， ， ， ， 点 为 的 中 点 ， 则 二 面 角
的余弦值为 　　
A．B．C．D．
【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示，由题意知各点坐标如下：
，0， 、 ，2， 、 ，0， 、 ，1， ；
，1， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ， ；
，令 ， ，1， ；
平面 的法向量为 ，0， ；
设二面角 的大小为 ，由题意知 为锐角；
所以 ， ．
所以二面角 的余弦值 ．
故选： ．
3．如图，在空间直角坐标系中有长方体 ， ， ， ，则点 到直线
的距离为 　　
A．B．C．D．1
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设点 的坐标为 ， ， ，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ，
所以 ， ，
因为 ，
则 ，
所以 ， ， ，2， ，
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