专题02 函数的表示法（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 02 函数的表示法

知识点一　函数的表示法

【思考】

(1)在函数的概念中，如果函数 y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？

(2)如果函数 y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？

【提示】

（1）确定，一一对应

（2）不确定，例如函数的定义域为 A＝{－1,0,1}，值域为 B＝{0,1}，则对应关系 f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．

2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．

3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相

同，那么这两个函数是同一个函数．

(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．

如y＝x与y＝3x 的定义域和值域都是 R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)

(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　)

(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个 x可以对应着值域中不同的 y. (　　)

(4)在函数的定义中，集合 B是函数的值域． (　　)

【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×

2．若 f(x)＝x2－，则 f(3)＝________.

【答案】7

【解析】f(3)＝9－＝9－2＝7.

3．函数 f(x)＝的定义域是________．

【答案】{x|x<4}

【解析】由4－x＞0，解得 x＜4，所以原函数的定义域是{x|x<4}．

4．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．

①f(x)＝x，g(x)＝；

②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；

③f(x)＝x，g(x)＝.

【解析】

【解析】①中 f(x)＝x与g(x)＝的定义域不同，不是同一函数；②中 f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1虽然自变量

不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；③中 f(x)＝x与g(x)＝定义域相同对应关系也相同，是同

一函数．

知识点二　区间及相关概念

1.区间的概念

设a，b是两个实数，而且 a＜b，我们规定：

(1)满足不等式 a≤x≤b的实数 x的集合叫做闭区间，表示为；

(2)满足不等式 a＜x＜b的实数 x的集合叫做开区间，表示为；

(3)满足不等式 a≤x<b或a<x≤b的实数 x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，．

这里的实数 a与b都叫做相应区间的端点．

实数集 R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”

读作“正无穷大”．我们可以把满足 x≥a，x＞a，x≤b，

x＜b的实数 x的集合，用区间分别表示为，，，(－∞，b)．

2．区间的几何表示

区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的

端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.

定义名称区间数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间

{x|a＜x＜b}开区间

{x|a≤x＜b}半开半闭区间

{x|a＜x≤b}半开半闭区间 (a，b]

{x|x≥a}－

{x|x>a}－(a，＋∞)

{x|x≤b}－

{x|x＜b}－(－∞，b)

【基础自测】

1．区间(0,1)等于 (　　)

A．{0,1}　　　　　　B．{(0,1)} C．{x|0＜x＜1} D．{x|0≤x≤1}

【答案】C

2．用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2<x≤4}＝________；

(3){x|x>－1，且 x≠2}＝________.

【答案】(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)

3．设 A＝(－6,1]，B＝(－1,9]，则 A∩B＝________.

【答案】

题型一　函数的概念

【例 1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合 M到集合 N的函数关系的个数是 (　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

【答案】B

【解析】①中，因为在集合 M中当 1<x≤2时，在 N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合 M

中的任意一个数 x，在 N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素 y＝3∉N，所以③不

是；④中，当 x＝1时，在 N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选 B.

(2)下列从集合 M到集合 N的对应关系中，其中 y是x的函数的是(　　)

A．M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系 f：x→y，其中 y＝

B．M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系 f：x→y，其中 y＝±2x

C．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系 f：x→y，其中 y＝x2

D．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系 f：x→y，其中 y＝

【答案】C

【解析】对于 A，M中的奇数在 N中无元素与之对应 y，不是 x的函数；

对于 B，M中每个元素在 N中都有两个不同元素与之对应，y不是 x的函数；

对于 C，M中每个元素在 N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；

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