专题02 根的判别式与十字相乘（含参）（方法专题）-2020学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

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专题 02 根的判别式与十字相乘的关系（含参）
【专题导入】
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1.（1）分解因式：x2+2x-8=_______；
（2）分解因式：x2-4x-12=________.
（3）解方程：x2+2x-8=0；
（4）解方程：x2-4x-12=0.
【答案】（1）（x-2）（x+4）；（2）（x-6）（x+2）；
（3）x1=2，x2=-4；（4）x1=6，x2=-4.
2.用公式法解关于 x的一元二次方程.
（1）x2-（m+3）x+（m+2）=0；
（2）x2+（m-3）x-3m=0.
【答案】（1）Δ=（m+3）2-4（m+2）=m2+2m+1.
x=
−b ±❑
√
Δ
2a
=
（m+3）±（m+1）
2
，
x1=1，x2=m+2.
（2）Δ=（m-3）2-4（-3m）=m2+6m+9.
x=
−b ±❑
√
Δ
2a
=
−（m−3）±（m+3）
2
，
x1=3，x2=-m.
尝试：
3.分解因式：
（1）x2-（m+3）x+（m+2）=________；
（2）x2+（m-3）x-3m=_________.
【答案】（1）（x-1）[x-（m+2）]；
（2）（x-3）（x+m）.
【方法点睛】
经过第 2题中用公式法解方程，我们不难看出，当根的判别式 Δ为完全平方式时，含参的一元二次方
程我们也能用因式分解法求出方程的两根，熟练运用十字相乘法分解因式能不仅简化部分题目的计算
量，还能针对关于参数方程的解的问题有更明确的解题思路.
【典例精析】
【例 1】已知关于 x的一元二次方程 x2-（m+3）x+m+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时 m的值．
提示：可用公式法求根，也可以因式分解，原方程因式分解可化为:_________________.
【解析】（1）∵△=（m+3）2-4（m+2）=（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）原方程可化为（x-1）[x-（m+2）]=0，
∴x1=m+2，x2=1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=-3 或-1．
同步训练 1. 关于 x的一元二次方程 x2-mx+m-1=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根大于 3，求 m的取值范围．
【答案】（1）证明：依题意，得△=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2≥0，
∵（m-2）2≥0，
∴方程总有两个实数根.
（2）x2-mx +m-1=0，
（x-1）（x-m+1）=0，
∴x1=1，x2=m-1，
∵方程有一个根大于 3，
∴m-1＞3，
∴m＞4．
∴m的取值范围是 m＞4．
【例 2】已知关于 x的方程 mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m的值．
【答案】（1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2-4m×2
=m2-4m+4
=（m-2）2，
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