专题02 方法篇：求数列的通项公式（重难点突破）解析版 -【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

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专题 02 方法篇：求数列的通项公式
一、考情分析
二、考点梳理与题型分析
考点一、公式法
例1、（2022·江苏省天一中学高二期末）（多选题）设数列 的前 n项和为 ， ， ，
则（ ）
A． 是等比数列 B． 是单调递增数列
C．D． 的最大值为 12
【答案】CD
【解析】
【分析】
由题设 ，结合等差、等比数列的定义和性质判断 A、B；进而求出 的通项公式，根据 的
二次函数性质求最值判断 C、D.
【详解】
由题设知： ，故 是等差数列且递减，又 ，
所以 ，且 ，
当 或 ， 的最大值为 12.
综上，A、B错误，C、D正确.
故选：CD
【变式训练 1-1】、（2022·安徽·六安一中高二期末）设数列 的前 n项和为 ，若 ，且
是等差数列．则 的值为__________．
【答案】52
【解析】
【分析】
根据给定条件求出 ，再求出数列 的通项即可计算作答.
【详解】
依题意，因 是等差数列，则其公差 ，
于是得 ， ，
当 时， ，而 满足上式，
因此， ，
所以 .
故答案为：52
例2、（福建省漳州市 2021-2022 学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列 的前 项和为
， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列
的通项公式；
（2）求得 ，利用裂项法可求得 ，即可证得原不等式成立.
(1)
解：设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
因此， .
(2)
证明： ，
因此，
.
故原不等式得证.
【变式训练 1-2】、（福建省三明市普通高中 2021-2022 学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差
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