专题02 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a，b，c的关系-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（原卷版）

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专题 02 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与字母系数 a，b，c 的关系

典例示范

例（2018·南充）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，顶

点 P（m，n）．给出下列结论：

① 2a+c＜0；

②若（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（，y3）在抛物线上，则 y1＞y2＞y3；

③关于 x 的方程 ax2+bx+k=0 有实数解，则 k＞c﹣n；[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

④当 n=﹣ 时，△ABP 为等腰直角三角形．

其中正确结论是　　（填写序号）．

【方法指导】二次函数图象与字母系数的关系：

1.a 符号的确定：抛物线开口向上⇔a＞0；抛物线开口向下⇔a＜0；

2.b 符号的确定：对称轴在 y 轴⇔b＝0；对称轴在 y 轴左侧⇔a，b 同号；对称轴在 y 轴右侧⇔a，b 异

号；

3.c 符号的确定：抛物线过原点⇔c＝0；抛物线与 y 轴交于正半轴⇔c＞0；抛物线与 y 轴交于负半轴

⇔c ＜0；

4.b2－4ac 符号的确定：抛物线与 x 轴有两个交点⇔b2－4ac＞0；有一个交点⇔b2－4ac＝0；没有交点

⇔b2－4ac＜0；

5.特殊关系：x＝1 时，y＝a＋b＋c；x＝－1 时，y＝a－b＋c；x＝2 时，y＝4a＋2b＋c；x＝－2 时，y

＝4a－2b＋c.通过纵坐标的正负来判断代数式的符号.

针对训练

1．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；② 2a+b＞0；③ b2﹣

4ac＞0；④ a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc＞0；② b﹣a

＞c；③ 4a+2b+c＞0；④ 3a＞﹣c；⑤ a+b＞m（am+b）（m≠1 的实数）．其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤

3．抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与 x 轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对

称轴是 x=1．下列结论中：

① abc＞0；

② 2a+b=0；

③方程 ax2+bx+c=3 有两个不相等的实数根；

④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）；[来源:Z_xx_k.Com]

⑤若点 A（m，n）在该抛物线上，则 am2+bm+c≤a+b+c．

其中正确的有（　　）

A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个

4．已知二次函数 y=ax2+ bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：

① abc＜0；② 2a﹣b＜0；③ b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有 y1＞

y2．

其中正确的结论有（　　）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个

5．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．ac＜0 B．b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＜0

6．已知抛物线 y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与 x 轴最多有一个交点．以下四个结论：

① abc＞0；[来源:学科网 ZXXK]

②该抛物线的对称轴在 x=﹣1 的右侧；

③关于 x 的方程 ax2+bx+c+1=0 无实数根；

④ ≥2．

其中，正确结论的个数为（　　）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

7．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有 a、b、c 三个

字母的等式或不等式：① =﹣1；② ac+b+1=0；③ abc＞0；④ a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（

）

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