专题02 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数a，b，c的关系-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（解析版）

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典例示范

例（2018·南充）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，顶

点 P（m，n）．给出下列结论：

① 2a+c＜0；

②若（﹣ ，y1），（﹣ ，y2），（，y3）在抛物线上，则 y1＞y2＞y3；

③关于 x 的方程 ax2+bx+k=0 有实数解，则 k＞c﹣n；

④ 当 n=﹣ 时，△ABP 为等腰直角三角形．

其中正确结论是　　（填写序号）．

【答案】②④

[来源:Z*xx*k.Com]

∵抛物线与直线 y=t 有交点时，方程 ax2+bx+c=t 有解，t≥n，

∴ax2+bx+c﹣t=0 有实数解.

要使得 ax2+bx+k=0 有实数解，则 k=c﹣t≤c﹣n；故③错误，

故答案为②④．学科网

【方法指导】二次函数图象与字母系数的关系：

1.a 符号的确定：抛物线开口向上⇔a＞0；抛物线开口向下⇔a＜0；

2.b 符号的确定：对称轴在 y 轴⇔b＝0；对称轴在 y 轴左侧⇔a，b 同号；对称轴在 y 轴右侧⇔a，b 异

号；

3.c 符号的确定：抛物线过原点⇔c＝0；抛物线与 y 轴交于正半轴⇔c＞0；抛物线与 y 轴交于负半轴

⇔c＜0；

4.b2－4ac 符号的确定：抛物线与 x 轴有两个交点⇔b2－4ac＞0；有一个交点⇔b2－4ac＝0；没有交点

⇔b2－4ac＜0；

5.特殊关系：x＝1 时，y＝a＋b＋c；x＝－1 时，y＝a－b＋c；x＝2 时，y＝4a＋2b＋c；x＝－2 时，y

＝4a－2b＋c.通过纵坐标的正负来判断代数式的符号 .

针对训练

1．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；② 2a+b＞0；③ b2﹣

4ac＞0；④ a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

解：①∵抛物线对称轴是 y 轴的右侧，

∴ab＜0，

∵与 y 轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵a＞0，x=﹣ ＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，

故②正确；

③∵抛物线与 x 轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故③正确；

④当 x=﹣1 时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

故④正确．

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