专题1.13 角的平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.13 角的平分线（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC 平分∠ADB ,
又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为 E、F，
∴PE=PF
特别指出：解题时一定要写上 E⊥AD,PF⊥BD 这个条件
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为 E、F，
又∵PE=PF
∴DC 平分∠ADB ,
即点 P 在∠ADB 的平分线上。
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边 D、E.
　　（2）分别以 D、E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C.
　　（3）作射线 OC.
∴射线 OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC
的内心为
1
P
，旁心为
2 3 4
, ,P P P
，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角平分线的性质定理及证明
1．如图，在 中， 平分 交 于点 ， ，分别交 ，
于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易证△AFE≌△AFC，进而问题可求证；
（2）由（1）可得∠AEC=∠ACE=40°，然后根据三角形外角的性质可求解．
（1）证明：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFC（ASA），
∴ ；
（2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ ， ，
∴∠AEC=∠ACE=40°，
∴ ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性
质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关
键．
举一反三：
【变式 1】如图，已知点 E在AB 上，CE 平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：
AB CD∥．
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