专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.9 线段的垂直平分线（知识讲解）

【学习目标】

1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；

2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；

3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练.

【要点梳理】

知识要点一：

线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两

个端点的距离相等。

①如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3是 l 上的点.试说明 P1A= P1B.

证明：∵直线 l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.

又 CA=CB，P1C= P1C，

∴△P1CA≌△P1CB (SAS).

∴P1A= P1B.

几何语言叙述： ∵直线 l 垂直平分 AB，P 是直线 l 上任意一点;

∴PA=PB.

知识要点二：

线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

上.

如图，在△PAB 中，如果 PA=PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上？

请证明这个结论？

点 P 在线段 AB 的垂直平分线上

证明：作 PC⊥AB，垂足为 C，则∠ACP=∠BCP=90°，

在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).

∴AC=BC.

∴PC 是 AB 的垂直平分线，

即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.

线段垂直平分线性质的逆定理：

几何语言叙述： ∵PA=PB;

∴P点在 AB 的垂直平分线上.

【典型例题】

类型一、线段垂直平分线的性质

1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交AC 于点 D，交 AB 于

点E，连接 BD．若 AE＝6，△CBD 的周长为 20，求 BC 的长．

【答案】线段 BC 的长为 8

【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，由线段的和差关系

可求解．

解：∵MN 垂直平分 AB，

∴ ，，

∵ ，

∴ ，

∵ 的周长为 20，

∴ ，

∴BC 的长为 8．

【点拨】题目主要考查垂直平分线的性质及线段的和差关系，理解垂直平分线的性质

是解题关键．

举一反三：

【变式 1】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，

交AC 于点 E．求证：△BEC 是等腰三角形．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到 AE=BE，则∠ABE=∠A=36°，由三角形外

角的性质可得∠BEC=∠A+∠ABE=72°，由 AB=AC，可得，

则∠C=∠BEC，

即可证明△BEC 是等腰三角形．

解：∵DE 是线段 AB 的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠BEC=∠A+∠ABE=72°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

又∵∠A=36°，

∴ ，

∴∠C=∠BEC，

∴BE=BC，

∴△BEC 是等腰三角形．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角

和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定

条件．

【变式 2】如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于N，交 AC 于M．

（1）若∠B=70°，则∠NMA 的度数是_________．

（2）连接 MB，若 AB=8cm，BC=6cm．

①求△MBC 的周长；

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