专题1.8 期末满分计划之大题压轴重难点题型（举一反三）（浙教版）（解析版）-2020-2021学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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专题 1.8 期末满分计划之大题压轴重难点题型
【浙教版】
【题型 1 四边形综合—新定义类】
【例 1】（2020 春•邗江区期末）定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．
（1）如图 1，四边形 ABCD 中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求证：四边形
ABCD 是邻和四边形．
（2）如图 2，是由 50 个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知 A、B、C三点
的位置如图，请在网格图中标出所有的格点 D，使得以 A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图 3，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2
❑
√
3
，若存在一点 D，使四边形 ABCD 是邻和四
边形，求邻和四边形 ABCD 的面积．
【分析】（1）由等腰三角形的判定可证 AB＝AC，AC＝AD，由邻和四边形的定义可得结论；
（2）以 A为圆心，AB 为半径作弧，可得格点 D1，D3，以 BC 为边，在 BC 下方作等边三角形 BCD2，可
得解；
（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
∵∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD，
∴AB＝AC＝AD．
∴四边形 ABCD 是邻和四边形．
（2）如图，格点 D1、D2、D3即为所求作的点．
（3）∵在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2
❑
√
3
，∴AC
¿❑
√
A B2+BC2=¿
4，
显然 AB，BC，AC 互不相等．分两种情况讨论：
①当DA＝DC＝AC 时，如图 3所示：
∴S△ADC
¿❑
√
3
4
AC2＝4
❑
√
3
，S△ABC
¿1
2
AB×BC＝2
❑
√
3
．
∴S四边形 ABCD＝S△ADC+S△ABC＝6
；
②当CD＝CB＝BD 时，如图 4所示：过点 D作DH⊥BC 于H，
∵CD＝CB＝BD，
∴△BDC 是等边三角形，
∴S△BDC
¿❑
√
3
4
BC2＝3
❑
√
3
，
∵△BDC 是等边三角形，DH⊥BC，
∴BH＝CH
¿1
2
BC
¿❑
√
3
，
∴S△ADB
¿1
2
AB•（
1
2
BC）
¿❑
√
3
，
∴S四边形 ABCD＝S△BDC+S△ADB＝4
❑
√
3
；
③当DA＝DC＝DB 或AB＝AD＝BD 时，邻和四边形 ABCD 不存在．
∴邻和四边形 ABCD 的面积是 6
❑
√
3
或4
❑
√
3
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，理
解邻和四边形的定义，并能运用邻和四边形的定义解决问题是本题的关键．
【变式 1-1】（2020 春•清江浦区期末）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）已知：如图 1，四边形 ABCD 的顶点 A，B，C在网格格点上，请你在如下的 5×7 的网格中画出 3
个不同形状的等邻边四边形 ABCD，要求顶点 D在网格格点上；
（2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB
¿20
7
，BC＝5，点 E在BC 边上，连接 DE 画AF⊥DE 于点 F，若 DE
¿5
4
CD，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
（3）如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，D是BC 的中点，点 M是AB 边上一点，
当四边形 ACDM 是“等邻边四边形”时，则 BM 的长为　 4
或
6
或
26
5
　．
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