专题1.7 投影与三视图章末重难点题型（举一反三）（浙教版）（解析版）-2020-2021学年九年级数学举一反三系列（浙教版）

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专题 1.7 投影与三视图章末重难点题型
【浙教版】
【考点 1 平行投影概念及特点】
【方法点拨】平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平
行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．在
平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
【例 1】（2019 秋•和平区期末）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正
确的是（　　）
A．③①④② B．③②①④ C．③④①② D．②④①③
【分析】太阳光可以看做平行光线，从而可求出答案．
【解答】解：太阳从东边升起，西边落下，
所以先后顺序为：③④①②
故选：C．
【点评】本题考查平行投影，解题的关键是熟练知道太阳光是平行光线，本题属于基础题型．
【变式 1-1】（2020•丛台区校级一模）当某一几何体在投影面 P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面
P的距离，其正投影的形状（　　）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
【分析】几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案．
【解答】解：某一几何体在投影面 P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面 P的距离，其正投影的形
状不发生变化，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行投影的性质，熟练掌握线段、平面图形、几何体的平行投影性质是根本．
【变式 1-2】（2019 春•越城区校级月考）小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上
的投影不可能是（　　）
A．线段 B．一个点 C．等边三角形 D．等腰三角形
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小
在变，方向也在改变，依此进行分析．
【解答】解：当等边三角形木框与阳光平行时，投影是线段；
当等边三角形木框与阳光垂直时，投影是等边三角形；
当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影是等腰三角形；
投影不可能是一个点．
故选：B．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同．
【变式 1-3】（2020•北海模拟）两个不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是（
　）
A．相等 B．长的较长 C．短的较长 D．不能确定
【分析】因不知道物体与地面的角度关系如何，即不知道与光线的角度大小，故无法比较其投影的长短．
【解答】解：由于不知道两个物体的摆放情况，无法比较两物体．故选：D．
【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，同一物体的影子的大小、形状可能不同，具
体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
【考点 2 平行投影与相似】
【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．通
过构造三角形利用相似三角形的性质去解题即可．
【例 2】（2020 秋•济南期中）如图，甲楼 AB 高18 米，乙楼 CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午
12 时，物高与影长的比是 1：
❑
√
2
，已知两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 DE＝　 　米．
（结果保留根号）
【分析】设 FE⊥AB 于点 F，那么在△AEF 中，∠AFE＝90°，解直角三角形 AEC 可以求得 AF 的长，进
而求得 DE＝AB﹣AF 即可解题．
【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A点的影子落在乙楼的 E处，那么图中 ED 的长度就是甲
楼的影子在乙楼上的高度，
设FE⊥AB 于点 F，那么在△AEF 中，∠AFE＝90°，EF＝20 米．
∵物高与影长的比是 1：
❑
√
2
，
∴
AF
EF =1
❑
√
2
，
则AF
¿❑
√
2
2
EF＝10
❑
√
2
，
故DE＝FB＝18 10﹣
❑
√
2
．
故答案为（18 10﹣
❑
√
2
）
【点评】本题考查了相似三角似三角形的应用和平行投影，根据物高与影长的比是 1：
❑
√
2
，得出 AF 的
值是解题的关键．
【变式 2-1】（2019•陕西二模）如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为 1m
的竹竿影长为 0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分
影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（ CD）为 1.2m，又测得地面部分的影长（ BC）为
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