专题1.7 期末满分计划之选填压轴重难点题型（举一反三）（浙教版）（解析版）-2020-2021学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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专题 1.7 期末满分计划之选填压轴重难点题型
【浙教版】
【题型 1 四边形中的最值类】
【例 1】（2020 春•如东县期末）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 6，点 M是对角线 AC 上的一动点，且
∠ABC＝120°，则 MA+MB+MD 的最小值是（　　）
A．
3❑
√
3
B．3+3
❑
√
3
C．6
+❑
√
3
D．
6❑
√
3
【分析】过点 D作DE⊥AB 于点 E，连接 BD，根据垂线段最短，此时 DE 最短，即 MA+MB+MD 最小，
根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出 DE 的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点 D作DE⊥AB 于点 E，连接 BD，
∵菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB 是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时 DE 最短，即 MA+MB+MD 最小，
∵菱形 ABCD 的边长为 6，
∴DE
¿❑
√
A D2−A E2=❑
√
62−32=¿
3
❑
√
3
，
∴2DE＝6
❑
√
3
．
∴MA+MB+MD 的最小值是 6
．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边
三角形的判定与性质．
【变式 2-1】（2020 春•邗江区期末）如图，以边长为 4的正方形 ABCD 的中心 O为端点，引两条相互垂直
的射线，分别与正方形的边交于 E、F两点，则线段 EF 的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．
❑
√
2
D．2
❑
√
2
【分析】如图，作辅助线；证明△AOE≌△DOF，进而得到 OE＝OF，此为解决该题的关键性结论；求
出OE 的范围，借助勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 EF，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE 与△DOF 中，
{
∠EAO=∠FDO
AO=DO
∠AOE=∠DOF
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为 λ）；
∴△EOF 是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF
¿❑
√
2
OE
¿❑
√
2
λ，
∵正方形 ABCD 的边长是 4，
∴OA＝2
❑
√
2
，O到AB 的距离等于 2（O到AB 的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤2
❑
√
2
，
∴2
❑
√
2≤
EF≤4．
所以线段 EF 的最小值为 2
❑
√
2
．
故选：D．
【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定等几何知识点的应用问题 ；
牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点，是灵活解题的基础和关键．
【变式 2-2】（2020 春•玄武区期末）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，BC＝6，点 E在BC 边上，且 BE＝
2，F为AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边作等边△EFG，且点 G在矩形 ABCD 内，连接 CG，
则CG 的最小值为（　　）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
❑
√
3
【分析】由题意分析可知，点 F为主动点，G为从动点，所以以点 E为旋转中心构造全等关系，得到点
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