专题1.6 极值点偏移第四招——含指数式的极值点偏移问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 14 4 791.52KB 13 页 3知币

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近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之

间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研

究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系 . 这一类问题多数与指数函数有关，解

题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问

题做一探究.

★（2016 年新课标 I卷理数压轴 21 题）已知函数有两个零点 .证明：

法二：参变分离再构造差量函数

由已知得：，不难发现，，

故可整理得：

设，则

那么，当时，，单调递减；当时，，单调递

增．学科*网

设，构造代数式：

设，

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

则，故单调递增，有．

因此，对于任意的，．[来源:学科网 ZXXK]

由可知、不可能在的同一个单调区间上，

不妨设，则必有

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

令，则有

而，，在上单调递增，因此：

整理得：．

法三：参变分离再构造对称函数

由法二，得，构造，

利用单调性可证，此处略. 学科*网

法五：利用“对数平均”不等式

参变分离得：

a=(2−x1)ex1

(x1−1)2=(2−x2)ex2

(x2−1)2

，由

a>0

得，

x1<1<x2<2

，

将上述等式两边取以

为底的对数，得

ln (2−x1)

(x1−1)2+x1=ln (2−x2)

(x2−1)2+x2

，

化简得：

[ln (x1−1)2−ln (x2−1)2]−[ ln (2−x1)−ln (2−x2)]=x1−x2

，

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