专题1.5三角函数的应用-方向角问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 1.5 三角函数的应用-方向角问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距 200 米的 P、Q两点分别测定
对岸一棵树 T的位置，T在P的正北方向，且 T在Q的北偏西 70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为
（　　）
A．200tan70°米B．
200
tan 70 °
米
C．200sin 70°米D．
200
sin 70°
米
【分析】在直角三角形 PQT 中，利用 PQ 的长，以及∠PQT 的度数，进而得到∠PTQ 的度数，根据三
角函数即可求得 PT 的长．
【解答】解：在 Rt△PQT 中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90° 70°﹣＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°
¿PQ
PT
，
∴PT
¿PQ
tan 70 °=200
tan 70 °
，
即河宽
200
tan 70 °
米，
故选：B．
2．（2020•济宁）一条船从海岛 A出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛 B处．灯塔 C
在海岛 A的北偏西 42°方向上，在海岛 B的北偏西 84°方向上．则海岛 B到灯塔 C的距离是（　　）
A．15 海里 B．20 海里 C．30 海里 D．60 海里
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出 BC＝
AB，求出 AB 即可．
【解答】解：如图．
根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛 B到灯塔 C的距离是 30 海里．
故选：C．
3．（2019•济南）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A测得历下亭 C在北偏东 37°方向，继续向
北走 105m后到达游船码头 B，测得历下亭 C在游船码头 B的北偏东 53°方向．请计算一下南门 A与历下
亭C之间的距离约为（　　）（参考数据：tan37°
≈3
4
，tan53°
）
A．225mB．275mC．300mD．315m
【分析】如图，作 CE⊥BA 于E．设 EC＝xm，BE＝ym．构建方程组求出 x，y即可解决问题．
【解答】解：如图，作 CE⊥BA 于E．设 EC＝xm，BE＝ym．
在Rt△ECB 中，tan53°
¿EC
EB
，即
4
3=x
y
，
在Rt△AEC 中，tan37°
¿EC
AE
，即
3
4=x
105+y
，
解得 x＝180，y＝135，
∴AC
¿❑
√
E C2+A E2=❑
√
18 02+24 02=¿
300（m），
故选：C．
4．（2020•岱岳区一模）如图，一艘轮船以 40 海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到 A处时，发现它
的北偏东 30°方向有一灯塔 B．轮船继续向北航行 2小时后到达 C处，发现灯塔 B在它的北偏东 60°方向．
若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）
A．1小时 B．
❑
√
3
小时 C．2小时 D．
2❑
√
3
小时
【分析】过 B作AC 的垂线，设垂足为 D．由题易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA
＝30°，得 AC＝BC．由此可在 Rt△CBD 中，根据 BC（即 AC）的长求出 CD 的长，进而可求出该船需要
继续航行的时间．
【解答】解：作 BD⊥AC 于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
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