专题1.5 直角三角形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 1.5 直角三角形（知识讲解）

【学习目标】

1.理角并掌握直角三角形的性质与判定；

2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。

【要点梳理】

要点一、直角三角形的定义

三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

特别说明：

如果直角三角形中，有一个锐角是 45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角

都等于 45°

要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简

写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具

备.

特别说明：

（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三

角形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角

三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，

书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

要点三、直角三角形的性质

（1）直角三角形中两锐角互余.

（2）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.

（3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等

于 30°.

（4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

（5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直

角三角形.

（6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

要点四、直角三角形的判定

(1) 有两内角互余的三角形是直角三角形.

(2) 在三角形中，若一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三

角形是直角三角形.　　

(3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为

斜边.

【典型例题】

类型一、直角三角形两锐角互余

1．如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于E，若∠C＝60°，∠BED

＝70°，求∠BAC 的度数．

【答案】80°

【分析】先根据 AD 是△ABC 的边 BC 上的高得出，再由直角三角形性质

得出 ,根据 BE 平分∠ABC 得出，进而得出 ,再

根据三角形内角和定理即可得出结论．

解：∵ 是的高．即，

∴ ，

∵在中，，

∴ ．

∵ 平分，

∴ ，

∴

【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线定理，熟知三角形内角和是 180°

是解题关键．

举一反三：

【变式】如图，已知在△ABC 中，D是BC 上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C．

求证：AD＝AB．

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠C=90°；然后由已知条件

∠BAD=2∠C求得∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC；最后根据

△ADC 的外角性质以及等量代换证得∠ABD=∠ADB，最后利用等角对等边即可证明．

证明：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°；

∵∠BAD=2∠C，

∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，

即∠B=∠C+∠DAC，

∵∠ADB=∠C+∠DAC

∴∠ABD=∠ADB

∴AD＝AB．

【点拨】本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互

余．

类型二、直角三角形的判定

2．已知 a，b，c是△ABC 的三边长，如果，

试判断△ABC 的形状．

【答案】直角三角形，理由见解析

【分析】根据非负数的性质求得 a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理即可判断三角

形ABC 的形状．

解：△ABC 是直角三角形．理由：

∵ ，

∴ ，

∴ ，，，

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