专题1.4解直角三角形-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 1.4 解直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020•鸡西）如图，在△ABC 中，sinB
¿1
3
，tanC＝2，AB＝3，则 AC 的长为（　　）
A．
❑
√
2
B．
❑
√
5
2
C．
❑
√
5
D．2
【分析】过 A作AD⊥BC 于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，根据已知求出 AD＝2DC，AB＝3AD，求出
AD、CD 的长，根据勾股定理求出 AC 即可．
【解答】解：过 A作AD⊥BC 于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2
¿AD
DC
，sinB
¿1
3=AD
AB
，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC
¿1
2
，
在Rt△ADC 中，由勾股定理得：AC
，
故选：B．
2．（2020•凉山州）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则 tanA的值为（　　）
A．
1
2
B．
❑
√
2
2
C．2 D．2
❑
√
2
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求 AD、BD，再根据三角函数的意义可求出 tanA的值．
【解答】解：如图，连接 BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD
¿❑
√
22+22=¿
2
❑
√
2
，BD
¿❑
√
12+12=❑
√
2
，
∴tanA
¿BD
AD =❑
√
2
2❑
√
2=1
2
，
故选：A．
3．（2020•聊城）如图，在 4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在这些小
正方形的顶点上，那么 sin∠ACB 的值为（　　）
A．
3❑
√
5
5
B．
❑
√
17
5
C．
3
5
D．
4
5
【分析】如图，过点 A作AH⊥BC 于H．利用勾股定理求出 AC 即可解决问题．
【解答】解：如图，过点 A作AH⊥BC 于H．
在Rt△ACH 中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC
¿❑
√
A H2+C H2=❑
√
42+32=¿
5，
∴sin∠ACH
¿AH
AC =4
5
，
故选：D．
4．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算 tan15°时，如图．在
Rt△ACB 中，∠C＝90° ，∠ABC ＝30° ，延长 CB 使BD＝AB，连接 AD ，得∠D＝15° ，所以 tan15°
¿AC
CD =1
2+❑
√
3=2−❑
√
3
(2+❑
√
3)(2−❑
√
3)=¿
2
−❑
√
3
．类比这种方法，计算 tan22.5°的值为（　　）
A．
❑
√
2+¿
1 B．
❑
√
2−¿
1 C．
❑
√
2
D．
1
2
【分析】在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长 CB 使BD＝AB，连接 AD，得∠D＝22.5°，设
AC＝BC＝1，则 AB＝BD
¿❑
√
2
，根据 tan22.5°
¿AC
CD
计算即可．
【解答】解：在 Rt△ACB 中，∠C＝90° ，∠ABC＝45° ，延长 CB 使BD＝AB，连接 AD，得∠D＝
22.5°，
设AC＝BC＝1，则 AB＝BD
¿❑
√
2
，
∴tan22.5°
¿AC
CD =1
1+❑
√
2=❑
√
2−¿
1，
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