专题1.4 相似三角形章末重难点题型（举一反三）（浙教版）（原卷版）-2020-2021学年九年级数学举一反三系列（浙教版）

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专题 1.4 相似三角形章末重难点题型
【浙教版】
【考点 1 比例线段】
【方法点拨】对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相
等，如 a：b＝c：d（即 ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【例 1】（2020 秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a
¿❑
√
2
，b
¿❑
√
3
，c＝3，d
¿❑
√
2
【变式 1-1】（2020•成都模拟）已知 a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则 d的
长度为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【变式 1-2】（2020•龙岗区校级模拟）若 a是2，4，6的第四比例项，则 a＝　 　；若 x是4和16 的比例
中项，则 x＝　 　．
【变式 1-3】（2019 秋•皇姑区期末）已知四条线段 a，3，a+1，4是成比例线段，则 a的值为　 　．
【考点 2 黄金分割】
【方法点拨】黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC（AC＞BC），且使 AC 是AB 和BC 的比例中
项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C叫做线段 AB 的黄金分割点．其中 AC
¿❑
√
5−1
2
AB≈0.618AB，并且线段 AB 的黄金分割点有两个．
【例 2】（2020•福建模拟）在线段 AB 上，点 C把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果
AC
AB =BC
AC
，那么
点C叫做线段 AB 的黄金分割点．若点 P是线段 MN 的黄金分割点，当 MN＝1时，PM 的长是　 　．
【变式 2-1】（2020 秋•静安区期中）如果点 C是线段 AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是
❑
√
5−1
2
的为（　　）
A．
B．
BC
AC
C．
BC
AB
D．
AB
BC
【变式 2-2】（2020 春•相城区期末）如图，已知点 E是正方形 ABCD 的边 AB 边上的黄金分割点，且 AE＞
EB，若 S1表示 AE 为边长的正方形面积，S2表示以 BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S3表示正方形 ABCD
除去 S1和S2剩余的面积，则 S3：S2的值为（　　）
A．
❑
√
5−1
2
B．
❑
√
5+1
2
C．
3−❑
√
5
2
D．
3+❑
√
5
2
【变式 2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”
问题：点 G将一线段 MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的一段 GN
的比例中项，即满足
MG
MN =GN
MG =❑
√
5−1
2
，后人把
❑
√
5−1
2
这个数称为“黄金分割”数，把点 G称为线
段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若 D，E是边 BC 的两个
“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（　　）
A．10 4﹣
❑
√
5
B．3
❑
√
5−¿
5 C．
5−2❑
√
5
2
D．20 8﹣
❑
√
5
【考点 3 比例的基本性质】
【方法点拨】解决此类问题通常利用设 k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
【例 3】（2020•徐汇区一模）已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式
3a−b+c
2a+3b−c
的值；
（2）如果 3a﹣b+c＝24，求 a，b，c的值．
【变式 3-1】（2019 秋•永登县期末）已知 a、b、c是△ABC 的三边，且满足
a+4
3=b+3
2=c+8
4
，且
a+b+c＝12，请你探索△ABC 的形状．
【变式 3-2】（2019 秋•碑林区校级月考）已知
2a
b+c+d=2b
a+c+d=2c
a+b+d=2d
a+b+c=¿
k，求 k值．
【变式 3-3 】 （ 2019 秋•雁江区校级月考）已知 a、b、c均为非零的实数，且满足
a+b−c
c=a−b+c
b=−a+b+c
a
，求
(a+b)(b+c)(c+a)
abc
的值．
【考点 4 平行线分线段成比例】
【方法点拨】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【例 4】（2019•下城区二模）如图，直线 l1∥l2∥l3，AC 分别交 l1，l2，l3于点 A，B，C；DF 分别交
l1，l2，l3于点 D，E，F；AC 与DF 交于点 O．已知 DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求 AC 的长；
（2）若 BE：CF＝1：3，求 OB：AB．
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