专题1.4 相似三角形章末重难点题型（举一反三）（浙教版）（解析版）-2020-2021学年九年级数学举一反三系列（浙教版）

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专题 1.4 相似三角形章末重难点题型
【浙教版】
【考点 1 比例线段】
【方法点拨】对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相
等，如 a：b＝c：d（即 ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【例 1】（2020 秋•朝阳区校级月考）下面四组线段中，成比例的是（　　）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a
¿❑
√
2
，b
¿❑
√
3
，c＝3，d
¿❑
√
2
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分
析，排除错误答案．
【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、
❑
√
3×
3
≠❑
√
2×❑
√
2
，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另
外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
【变式 1-1】（2020•成都模拟）已知 a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则 d的
长度为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由 a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解答】解：因为 a，b，c，d是成比例线段，
可得：d
¿2×6
3=4
cm，
故选：A．
【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
【变式 1-2】（2020•龙岗区校级模拟）若 a是2，4，6的第四比例项，则 a＝　 　；若 x是4和16 的比例
中项，则 x＝　 　．
【分析】根据第四比例项的概念，得 2：4＝6：a，则 a可求；
根据比例中项的概念，得 x2＝4×16，则 x可求．
【解答】解：∵a是2，4，6的第四比例项，
∴2：4＝6：a，
∴a＝12；
∵x是4和16 的比例中项，
∴x2＝4×16，解得 x＝±8．
故答案为：12；±8．
【点评】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式．
【变式 1-3】（2019 秋•皇姑区期末）已知四条线段 a，3，a+1，4是成比例线段，则 a的值为　 　．
【分析】根据对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的
比相等，如 a：b＝c：d（即 ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解答】解：∵四条线段 a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4
即3（a+1）＝4a
解得 a＝3．
故答案为 3．
【点评】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
【考点 2 黄金分割】
【方法点拨】黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC（AC＞BC），且使 AC 是AB 和BC 的比例中
项（即 AB：AC＝AC：BC），叫做把线段 AB 黄金分割，点 C叫做线段 AB 的黄金分割点．其中 AC
¿❑
√
5−1
2
AB≈0.618AB，并且线段 AB 的黄金分割点有两个．
【例 2】（2020•福建模拟）在线段 AB 上，点 C把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果
AC
AB =BC
AC
，那么
点C叫做线段 AB 的黄金分割点．若点 P是线段 MN 的黄金分割点，当 MN＝1时，PM 的长是　 　．
【分析】分 PM＞PN 和PM＜PN 两种情况，根据黄金比值计算．
【解答】解：当 PM＞PN 时，PM
¿❑
√
5−1
2
MN
¿❑
√
5−1
2
，
当PM＜PN 时，PM＝MN
−❑
√
5−1
2
MN
¿3−❑
√
5
2
，
故答案为：
❑
√
5−1
2
或
3−❑
√
5
2
．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是
❑
√
5−1
2
是解题的关键．
【变式 2-1】（2020 秋•静安区期中）如果点 C是线段 AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是
❑
√
5−1
2
的为（　　）
A．
AC
BC
B．
BC
AC
C．
BC
AB
D．
AB
BC
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段
分割叫做黄金分割，他们的比值（
❑
√
5−1
2
）叫做黄金比作出判断．
【解答】解：∵点 C是线段 AB 的黄金分割点，
∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），
则
AC
AB =BC
AC =❑
√
5−1
2
；
或BC2＝AB•AC（AC＜BC），
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