专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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专题 02：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数
y=f(x)
，在区间
(a , b )
上只有一个极大（小） 值点
x0
，方程
f(x)=0
的解分别为
x1, x2
，且
a<x1<x2<b
，
（1）若
f(x1)<f(2x0−x2)
，则
， 即函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极（小）大值
点
x0
右（左）偏；
（2）若
f(x1)>f(2x0−x2)
，则
x1+x2
2>(<)x0
，即函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极（小）大值
点
x0
右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数
y=f(x)
，在区间
(a , b )
上只有一个极大（小）值点
x0
，则函数
f(x)
的单调递增（减）区间为
(a , x0)
，单调递减（增）区 间为
(x0, b)
，由于
a<x1<x2<b
，有
x1<x0
，
且
2x0−x2<x0
，又
f(x1)<f(2x0−x2)
，故
x1<(>)2x0−x2
，所以
x1+x2
2<(>)x0
，即函数极（小）
大值点
x0
右（左）偏；[来源:学&科&网Z&X&X&K]
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏
⇔m<x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m>x1+x2
2
）
左快右慢（极值点左偏
⇔m<x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m>x1+x2
2
）
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数
f(x)
的极值点
x0
；
（2）构造一元差函数
F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)
；
（3）确定函数
F(x)
的单调性；
（4）结合
F(0)=0
，判断
F(x)
的符号，从而确定
f(x0+x)
、
f(x0−x)
的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数
f(x)
满足
f(x1)=f(x2)
，
x0
为函数
f(x)
的极值点，求证：
x1+x2<2x0
.
（1）讨论函数
f(x)
的单调性并求出
f(x)
的极值点
x0
；
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