专题1.2 极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 4 4 796.92KB 13 页 3知币
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一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数
y=f(x)
，在区间
(a , b )
上只有一个极大 （小）值点
x0
，方程
f(x)=0
的解分别为
x1, x2
，且
a<x1<x2<b
，
（1）若
f(x1)<f(2x0−x2)
，则
，即函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极（小）大值
点
x0
右（左）偏；学科#网
（2）若
f(x1)>f(2x0−x2)
，则
x1+x2
2>(<)x0
，即函数
y=f(x)
在区间
(x1, x2)
上极（小）大值
点
x0
右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数
y=f(x)
，在区间
(a , b )
上只有一个极大（小）值点
x0
，则函数
f(x)
的单调递增（减）区间为
(a , x0)
，单调递减（增）区间为
(x0, b)
，由于
a<x1<x2<b
，有
x1<x0
，且
2x0−x2<x0
，又
f(x1)<f(2x0−x2)
，故
x1<(>)2x0−x2
，所以
x1+x2
2<(>)x0
，即函数极（小）大
值点
x0
右（左） 偏；
（2）证明略.
左 快右慢（极值点左偏
⇔m<x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右偏
⇔m>x1+x2
2
）
左快右慢（极值点左偏
⇔m<x1+x2
2
） 左慢右快（极值点右 偏
⇔m>x1+x2
2
）
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数
f(x)
的极值点
x0
；
（2）构造一元差函数
F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)
；
（3）确 定函数
F(x)
的单调性；
（4）结合
F(0)=0
，判断
F(x)
的符号，从而确定
f(x0+x)
、
f(x0−x)
的大小关系.
口诀：极值偏离对称轴 ，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数
f(x)
满足
f(x1)=f(x2)
，
x0
为函数
f(x)
的极值点，求证：
x1+x2<2x0
.
（1）讨论函数
f(x)
的单调性并求出
f(x)
的极值点
x0
；
假设此处
f(x)
在
(−∞, x0)
上单调递减，在
(x0,+∞)
上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网]
（2）构造
F(x)=f(x0+x)−f(x0−x)
；
注 ：此处根 据题意需要还可以构造成
F(x)=f(x)−f(2x0−x)
的形式.[来源:Zxxk.Com]
（3）通过求导
F '(x)
讨论
F(x)
的单调性 ， 判 断 出
F(x)
在某段区 间 上 的 正 负，并得出
f(x0+x)
与
f(x0−x)
的大小关系；
假设此处
F(x)
在
(0,+∞)
上单调递增，那么我们便可得出
F(x)>F(x0)=f(x0)−f(x0)=0
，从而
得到：
x>x0
时，
f(x0+x)>f(x0−x)
.
（4）不妨设
x1<x0<x2
，通过
f(x)
的单调性，
f(x1)=f(x2)
，
f(x0+x)
与
f(x0−x)
的大小关系得
出结论；
接 上 述 情 况 ， 由 于
x>x0
时 ，
f(x0+x)>f(x0−x)
且
x1<x0<x2
，
f(x1)=f(x2)
， 故
f(x1)=f(x2)=f[x0+( x2−x0)]>f[x0−( x2−x0)]=f(2x0−x2)
，又因为
x1<x0
，
2x0−x2<x0
且
f(x)
在
(−∞, x0)
上单调递减，从而得到
x1<2x0−x2
，从而
x1+x2<2x0
得证.
（5）若 要证明
f ' (x1+x2
2)<0
，还需进一步讨论
x1+x2
2
与
x0
的大小，得出
x1+x2
2
所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.
此处 只需继续证明 ：因为
x1+x2<2x0
，故
x1+x2
2<x0
，由 于
f(x)
在
(−∞, x0)
上单 调递减，故
f ' (x1+x2
2)<0
.学科*网
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