专题1.1 初识极值点偏移-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 4 4 364.44KB 7 页 3知币
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一、极值点偏移的含义
众所周知，函数
f(x)
满足定义域内任意自变量
x
都有
f(x)=f(2m−x)
，则函数
f(x)
关于直线
x=m
对称；可以理解为函数
f(x)
在对称轴两侧，函数值 变化快慢相同，且若
f(x)
为单峰函数，则
x=m
必为
f(x)
的极值点. 如二次函数
f(x)
的顶点就是极值点
，若
f(x)=c
的两根的中点为
x1+x2
2
，
则刚好有
x1+x2
2=x0
，即极值 点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数
f(x)
的极值点为
m
，且函数
f(x)
满足定义域内
x=m
左侧的任意自变量
x
都有
f(x)>f(2m−x)
或
f(x)<f(2m−x)
，则函数
f(x)
极值点
m
左右侧
变化快慢不同. 故单峰函数
f(x)
定义域内任意不同的 实数
x1, x2
满足
f(x1)=f(x2)
，则
x1+x2
2
与极值点
m
必有确定的 大小关系：学科*网
若
m<x1+x2
2
，则称为极值点左偏；若
m>x1+x2
2
，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
如函数
g(x)= x
ex
的极值点
x0=1
刚好在方程
g(x)=c
的两根中点
x1+x2
2
的左边，我们称之为 极值点左
偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式 ：
1. 若函数
f(x)
存在两个零点
x1, x2
且
x1≠x2
，求证：
x1+x2>2x0
（
x0
为函数
f(x)
的极值点）；
2. 若函数
f(x)
中存在
x1, x2
且
x1≠x2
满足
f(x1)=f(x2)
，求证：
x1+x2>2x0
（
x0
为函数
f(x)
的极
值点）；
3. 若函数
f(x)
存在两 个零点
x1, x2
且
x1≠x2
，令
x0=x1+x2
2
，求证：
f ' (x0)>0
；
4. 若函数
f(x)
中存在
x1, x2
且
x1≠x2
满足
f(x1)=f(x2)
，令
x0=x1+x2
2
，求证：
f ' (x0)>0
.
三、新题展示
【2019 江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立 ；
(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： < ln a.
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
（2）∵函数 y＝f（x）恰好在 x＝x1和x＝x2两处取得极值
∴x1，x2是方程 f′（x）＝0的两个实数根，不妨设 x1＜x2，[来源:学_科_网]
∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，
当a≤0 时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意，
当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），
∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，学科.网
∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，
由题意，应有 f′（lna）＝﹣alna＜0，解得 a＞1，
此时 f′（﹣1）0，
∴存在 x1∈（﹣1，lna）使得 f′（x1）＝0，
易知当 时，f(x) .
∴存在 x2∈（lna， ）使得 f′（x2）＝0，
∴a＞1满足题意，
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