专题1 三角恒等变换-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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三角恒等变换

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1．两角和与差的余弦公式

C（α－β）：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ．

C（α＋β）：cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ．

2．两角和与差的正弦公式

S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ．

S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ．

3．两角互余或互补

（1）若 α＋β＝，其 α、β为任意角，我们就称 α、β互余．例如：－α与互余，

＋α与互余．

（2）若 α＋β＝π，其 α，β为任意角，我们就称 α、β互补．例如：＋α与互补，

与－α互补．

4．两角和与差的正切公式

（1）T（α＋β）：tan（α＋β）＝．

（2）T（α－β）：tan（α－β）＝．

5．两角和与差的正切公式的变形

（1）T（α＋β）的变形：

tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）．

tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β）．

tan α·tan β＝．

（2）T（α－β）的变形：

tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）．

tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β）．

tan αtan β＝．

6.倍角公式及其变形形式

sin 2α＝2sinαcosα；

cos 2α＝cos2α-sin2α＝2cos 2α-1＝1-2sin2α ；

cos2α＝；

sin2α＝；

tan 2α＝

tan 2α＝＝（α≠kπ，k∈Z）．

关于两角差的余弦公式的三点说明

(1)公式的结构特点

公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正

号相反”记忆公式．

(2)公式中的角 α，β

公式中的角 α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整体，可以根据题目需要进行替换、变

形代入，展开式仍然成立．

(3)公式的灵活应用

首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如 cos α＝

cos[(α＋β)－β]．

两角和与差的正弦、余弦公式的记忆方法

(1)理顺公式间的联系．

C(α＋β)――――→C(α－β)――――→S(α－β)――――→S(α＋β)

(2)注意公式的结构特征和符号规律．

对于公式 C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．

对于公式 S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．

两角和与差的正切

公式的结构特征及符号特征如下：

(1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tan α与tan β 的和或差，分母为 1与tan αtan β

的差或和．

(2)

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

3．两角和与差的正切公式的变形与特例

(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan

β)；

tan αtan β＝1－.

(2)公式的特例：tan ＝；

tan ＝.

二倍角公式的理解

(1)对于“二倍角”应该广义地理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是

的二倍角，是的二倍角，…

(2)对于各个公式，要明确各公式成立的条件，其中 sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－

sin2α对任意角 α都成立，而 tan 2α的公式则具有局限性．

二倍角公式的应用

(1)二倍角公式的逆用：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－

sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.

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