专题1 求数列的通项公式 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)
求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考常考的一专题，形式多样，解题方法很多，常见的有累加法、累乘法、待定系数
法、迭代法、取倒数法等，课外延申的还有不动点法等，不管什么方法，一定要理解解题方法的本质，清
楚每种方法的适用范围，避免出现“看得懂，模仿做还行，独立思考就含糊”的情况.
【方法一】观察法
适用范围：给出数列的前几项，猜测通项公式；
方法：通过观察，得知数列各项之间数值的关系(比如数值之间的差或商成一定规律)或数值结构特点(比如
数值的正负，分式，平方)从而求得通项公式.
【典题 1】写出下列数列
{an}
的一个通项公式
(
1
)
−7
，
14
，
−21
，
28 ，…
；
(
2
)
1
4
，
3
8
，
5
16
，
7
32 …
；
(
3
)
2，5，10 ，17 ，26 ，…
；
(
4
)
32，332，3332，33332，….
；
(
5
)
1，2，2，3，3，4，4，…
．
【解析】分解结构法：注意数值的结构，看其是否可视为两个或多个数列组合而成.
(1)
数列
−7,14 ,−21,28 , …
每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，
序号
1
2
3
4
……
n
符号
−¿
+¿
−¿
+¿
(
−1
)
n
绝对值
7
14
21
28
7n
项
(
−1
)
n7n
故
an=
(
−1
)
n7n
；
(2)
数列
1
4
，
3
8
，
5
16
，
7
32 …
每项可分解成分子和分母相除得到，
序号
1
2
3
4
……
n
分子
1
3
5
7
2n−1
分母
4
8
16
32
2n+1
项
(2n−1)2n+1
故
an=(2n−1)2n+1
；
变形法：数列本身特点不明显，但通过加减乘除某个数之类方式变形成“规律感更强”的数列.
(3)
数列
2,5,10 ,17 ,26 , …
中若每项减去
1
，则变成
1,4,9,16 ,25 , …
，
这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是
n2
，
则原数列只需要在这基础上加回
1
便可，即
an=n2+1
.
(4)数列
2,32,332 ,3332 ,33332, … .
中若每项加上
1
，则变成
3,33 ,333 ,3333 ,33333 ,….
，再每项乘以
3
，
变成
9,99 ,999 ,9999 ,99999 ,…
其中
9=10−1,99=102−1
，
999=103−1
，
9999=104−1，99999=105−1
，
则其通项
bn=10n+1−1
，
要求原数列的通项公式，
则“逆回去”，除以
3
再减
1
可得
an=bn
3−1=10n+1−1
3−1=10n+1−4
3
.
分奇偶项
(5)
数列
1,2,2,3,3,4,4, … ,
相邻每项之间没什么关系，若分奇偶性来看，就简单多了，
可得奇数项为
1,2,3,4,…,
可得
an=n+1
2
．偶数项为
2,3,4, … ,
可得
an=n+2
2
．
则该数列通项公式
an=
{
n+1
2, n为奇数
n+2
2, n 为偶数
.
【点拨】观察法主要是依靠“数感”，以上讲解的“分解结构法”“变形法”可有助于观察，它对后面讲
到的利用数学归纳法求解通项公式有用.
巩固练习
1 (★) 数列
1,−❑
√
2
2,1
2,−❑
√
2
4,1
4,
…的一个通项公式为( )
A．
¿
B．
¿
C．
¿
D．
¿
【答案】D
【解析】依题意，数列
{an}
的符号正负项间隔出现，故符号为
（ －1）n+1
，且每项为
（
❑
√
2
2）
n−1
，
故数列
{an}
的一个通项公式为
an=（－ 1）n+1
•
（
❑
√
2
2）
n−1
，
故选：
D
．
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