专题1 分类讨论含参函数的单调性-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版)

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分类讨论含参函数的单调性
1 导数与函数单调性的关系
在某个区间
(a , b)
内，若
f ' (x)>0
，则函数
y=f(x)
在这个区间内单调递增；
若
f ' (x)<0
，则函数
y=f(x)
在这个区间内单调递减．
2 对含参函数单调性的分析思路
(1) 如何分析原函数的单调性？
答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性.
(2) 那如何分析导函数的正负性呢？。
答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”
便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图).
(导函数看“零点”，原函数看单调性)
(3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？
答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题：
① 导函数是否存在零点；
② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？
③ 零点是否在定义域内？
(4) 怎么做到准确的分类讨论呢？
答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准；
② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集
合的并集为参数的全集则为“不漏”.
3 各模型分类讨论的标准
分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据.
“一次函数”型：是否一次函数，直线斜率大于 0还是小于 0，函数零点与定义域端点的大小；
“二次函数”型：确定是否二次函数，开口方向，判别式(是否有零点)，零点比较大小，零点与定义域端
点的大小；
“指数函数”型：是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论.
【题型一】原函数图象与导函数图象间的转化
【典题 1】设
f'(x)
是函数
的导函数，
y=f'(x)
的图象如图所示，则
y=f(x)
的图象可能是(　　)
A．B．
C．D．
1 (★) 函数
y=f
(
x
)
的图象如图所示，则导函数
y=f'(x)
的图象可能是 (　 )
2 (★) 已知函数
y=(x－1)f'(x)
的图象如图所示(其中
f'(x)
是函数
的导函数)，
则
y=f(x)
的图象可能是(　　)
【题型二】 “一次函数”型
【典题 1】求函数
f
(
x
)
=ln
(
x−1
)
−k
(
x−1
)
+1
的单调区间.
专题1 分类讨论含参函数的单调性-【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册) (原卷版).docx

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