专题7.3复数的三角表示(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内， x轴叫做实轴， y轴叫做虚
轴， x轴的单位是 1，y轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（ 0，0），对应复数
0．即复数 z＝a+bi→复平面内的点 z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z0|﹣＝a（a＞0）表示复数 z对应的点到原点的距离为 a；
（2）|z﹣z0|表示复数 z对应的点与复数 z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0 （a，b∈R）；
②b≠0 时， z﹣＝2bi 为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0 ．
【例题1】（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若复数 （ ， ），则把这种
形式叫做复数 z的三角形式，其中 r为复数 z的模， 为复数 z的辐角，则复数 的三角形式正
确的是（）
A．B．
C．D．
【例题2】（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（）.
A．B．
C．D．
【例题3】（2021·全国·高一课时练习）已知 的三角形式为 ，则 的
三角形式是（）.
A．B．
C．D．
【例题4】（2022·浙江省浦江中学高三期末）设 ，则在复平面内 z对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例题5】（多选题）（2022·山西·临县第一中学高三期末）已知复数 ， 是 的共轭复数，则
下列结论正确的是（）
例题精讲
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【例题6】（2022·上海·复旦附中高二期末）已知复数 ､满足 ，若 和 的幅角之差为
，则 ___________.
【例题7】（2021·全国·高一课时练习）求复数 的模与辐角．
【例题8】（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明
．
【例题9】（2019·全国·高二课时练习）任何向量 的坐标是______（选填“多值的”或“唯一的”），
一般地，它可以用基本单位向量 和 表示为______.
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