专题07 正方形中的线段数量关系解决方法-【专题突破】2021-2022学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版) (解析版)

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专题训练（七）正方形中的线段数量关系解决方法
正方形的基本性质：
具有平行四边形、矩形、菱形的一般性质。
四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。
正方形的判定方法：既是矩形，也是菱形。
题型一：证明“a=b”型
示例：如图，正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 AD，CD 上，且 AF⊥BE 于G，连接
BE，AF．求证：BE＝AF．
【答案】∵AF⊥BE，
∴ ．
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
即在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
1．如图，正方形 ABCD 中，点 F是CD 边上一点，DF＝2．连接 AF 并延长，交 BC 边延长
线于点 E，∠EFC＝3∠E，连接 AC．求证：AC＝EC．
【答案】∵ABCD 是正方形，
∴∠DCB＝∠DCE＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，DA BC
∴∠E＝∠DAE，
在Rt△EFC 中，∵∠EFC＝3∠E，且∠EFC＋∠E＝90°
∴∠DAE＝∠E＝22.5°
又∵∠DAC＝45°，
∴∠CAE＝45°-22.5°＝22.5°＝∠E，
∴AC＝EC；
2．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E在BC 延长线上，DF⊥AE 于点 F，点 G在AE 上，
且∠ABG＝∠E．求证：AG＝DF．
【答案】 四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
3．如图，点 E是正方形 ABCD 外一点，点 F是线段 AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角
形，其中∠EBF＝90°，连接 CE、CF．求证：AF＝CE．
【答案】∵正方形 ABCD
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠FBC＝∠CBE+∠FBC
∴∠ABF＝∠CBE，
又∵BF＝BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
题型二：证明“a=
1
2
b”型
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