专题07 平行四边形中的最值问题训练（解析版）-2020-2021学年八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

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专题 07 平行四边形中的最值问题训练
（时间：60 分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做
题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易
错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而
不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达
不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分
多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解
成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹
的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解
决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多
少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得
多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解
的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。
有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对
但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别
注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表
明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做
不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什
么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是
“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们
分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多
少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者
是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数
却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，
往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预
期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”
的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一
直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题
目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么
你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的
结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误
解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供
有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤
实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件
翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确
尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否
准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否
抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、选择题
1. 如图，在菱形 ABCD 中，
∠ABC =60∘
，
AB=1
，点 P是这个菱形内部或边上的一点，
若以点 P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则
PD ¿
、D两点不重合
¿
的最小值为
¿

¿
A.1B.
C.2D.
❑
√
3−1
【答案】D
【解析】连接 AC，在菱形 ABCD 中，
∵∠ ABC=60∘
，
AB=1
，
∴△ABC
，
△ACD
都
是等边三角形．
①
若以边BC 为底边，则线段BC 垂直平分线上
¿
在菱形的边及其内部
¿
的点满足题意，此
时就转化为“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”
.
作BC 的垂直平分线
交BC 于点 E，易知该直线过点 A，则点 P在线段AE 上
¿
不含点
E¿.
当点 P与点 A重合时，
PD 最短，此时
PD=1
．
②
若以边PC 为底边，则
∠PBC
为顶角，以点 B为圆心，BC 长为半径画弧，与 BD 相交
于一点，则弧
AC ¿
除点C外
¿
上的所有点都满足
△PBC
是等腰三角形，当点 P在BD 上时，
PD 最短，此时
PD=❑
√
3−1
．
③
若以边PB 为底边，则
∠PCB
为顶角，以点 C为圆心，BC 长为半径画弧，则弧BD 上
的点 A与点 D均满足
△PBC
为等腰三角形，当点 P与点 D重合时，PD 最短，显然不满足
题意，故此种情况不存在
.
综上所述，PD 的最小值为
❑
√
3−1
．
故选 D．
2. 如图，已知菱形 ABCD 对角线 AC 的长为
4❑
√
3
，
∠BCD=60∘
，M为BC 的中点，若P
为对角线 AC 上一动点，则
PB+PM
的最小值为
¿

¿
A.
❑
√
3
B.2C.
2❑
√
3
D.4
【答案】C
【知识点】菱形的性质、轴对称-最短路线问题、等边三角形的判定与性质
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称
−
最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质；掌握利用轴对称求
最短距离，将 PB 与PM 之和的最小值转化为线段DM 的长是解题的关键．
作点B关于对角线 AC 的对称点，该对称点与 D重合，连接 DM，则 PB 与PM 之和的最小
值为DM 的长；由题意可证
△BCD
是等边三角形，由等边三角形的性质可得
DM =OC
即
可得．
【解答】
解：如图，连接 DM、BD，BD 与AC 交于点 O．
∵
直线 AC 是菱形 ABCD 的对称轴，
∴
点P到点 B、D的距离相等，故当点 D、P、M三点共线时，
PB+PM
的值最小，最小值
为DM 的长．
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