专题07 幂函数（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇，人教A版2019必修第一册）

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专题 07 幂函数

知识点　幂函数

1.幂函数的概念

一般地，函数

叫做幂函数，其中 x是自变量，α是常数．

2.五个幂函数的图象与性质

解

析

式

y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝

图

象

定

义

域

R R R

解

析

式

y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝

值

域RR

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单

调

性

在(－∞，＋∞)上

单调递增

在(－∞，0]上单调递

减，在(0，＋∞)上单

调递增

在(－∞，＋ ∞)上单

调递增

在[0 ，＋ ∞ )上单调

递增

在(－∞，0)上单调

递减，在(0，＋∞)

上单调递减

定

点(1,1)

【思考】

通过 5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？

【提示】

第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)

(2)幂函数的图象都不过第二、四象限． (　　)

(3)当幂指数 α取1,3，时，幂函数 y＝xα是增函数． (　　)

(4)若幂函数 y＝xα的图象关于原点对称，则 y＝xα在定义域内 y随x的增大而增大． (　　)

【答案】（1）×（2）×（3）√（4）×

2．已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为(　　)

A．y＝x＋2　　　　　　B．y＝x2 C．y＝ D．y＝x3

【答案】B

【解析】设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2时，y＝4，故 2α＝4，即 α＝2.

3．在下列四个图形中，

的大致图象是

(　　)

【答案】D

【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选 D.

4．已知 f(x)＝(m－1)x是幂函数，则 m＝________.

【解析】2

【解析】∵函数 f(x)＝(m－1)x是幂函数，∴m－1＝1，即 m＝2.

5．已知幂函数 f(x)＝xα图象过点，则 f(4)＝________.

【答案】

【解析】∵幂函数 f(x)＝xα的图象过点，∴2α＝，∴α＝－.即f(x)＝x，∴f(4)＝4＝.

题型一　幂函数的概念

【探究发现】

幂函数的解析式有什么特征

【提示】（1）指数为常数

（2）底数是自变量，自变量的系数为 1，

（3）幂的系数为 1

（4）只有 1项

【学透用活】

【例 1】　(1)下列函数：

①y＝x3；② y＝x；

③y＝4x2；④ y＝x5＋1；

⑤y＝(x－1)2；⑥ y＝x；⑦ y＝ax(a＞1)．

其中幂函数的个数为 (　　)

A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】由幂函数的概念可知，只有是幂函数

(2) 若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则 m＝________.

【答案】5或-1

【解析】(2)因为 f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以 m2－4m－4＝1，即 m2－4m－5＝0，解得 m＝5或m

＝－1.

【方法技巧】

求幂函数解析式的依据和常用方法

(1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关

问题的隐含条件．

(2)常用方法：设幂函数解析式为 f(x)＝xα，依据条件求出 α.　　

【变式训练】

1．在函数 y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 (　　)

A．0　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3

【解析】因为 y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3由于出现系数 2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形

式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数 y＝1 的图象比幂函数 y＝x0的图象多了一个点

(0,1)，所以常数函数 y＝1不是幂函数．

2．已知幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)为增函数，则 m的值为 (　　 )

A．1或3 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】由函数 f(x)为幂函数，得 m2－4m＋4＝1，解得 m＝1或m＝3.

又幂函数 f(x)单调递增，则 m2－6m＋8＞0，据此可得，m＝1.

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