专题07 洛必达法则（解析版）-2021-2022学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题 07 洛必达法则
【考点预测】
法则 1 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
　　(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
　　(3) ，
那么 = 。
法则 2 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
　　(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
　　(3) ，
那么 = 。
法则 3 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
　　(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
　　(3) ，
那么 = 。
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1. 将上面公式中的 ， ， ， 洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理 ， ， ， ， ， ， 型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ， ， ， ， ， 型定式，否则滥
用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从
另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
，如满足条件，可继续使用洛必达法则。
【典型例题】
例1．已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 的定义域为 ， ，
令 ，则
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 时， （1） ，
即 在 上单调递增，
所以 的增区间为 ，无减区间．
（2）解法 1：直接求导，分类讨论．
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立．
令 ，则 ，
令 ，则 ．
①当 ，即 时，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 ， 上单调递减，又 （1） ，
所以 时， ，即 ，
所以 在 ， 上单调递，又 （1） ，
所以 时， ，符合题意．
②若 ，即 时，
所以 时， （1） ，即 ，
所以 在 单调递增，
所以 时， （1） ，所以 不恒成立．
③若 ，
则 恒成立，所以 在 ， 恒成立．
所以 时， （1） ，即 ，所以 在 ， 单调递增，
所以 时， （1） ，所以 恒成立．
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