专题07 常见因式分解的类型（解析版）-2019-2020学年八年级数学下册解法技巧思维培优(北师大版)

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八下数学思维解法技巧培优小专题
专题 7 常见因式分解的类型
题型一 只提不套型
【典例 1】因式分解：
（1）
−24 m2x−16 n2x
=_____________________；
（2）
ab2−3a2b+ab
=_____________________；
（3）
a5b3c2+5a4b2c−7a3bc
=_____________________；
（4）
3m
(
b−c
)
−2n
(
c−b
)
=____________________.
【点拨】先提公因式，然后整理化简
【解析】（1）
−8x
(
3m2+2n2
)
;（2）
ab
(
b−3a+1
)
;（3）
a3bc
(
a2b2c+5ab−7
)
;（4）
(
b−c
) (
3m+2n
)
.
【典例 2】因式分解：
（1）
;
（2）
2m
(
m−n
)
2−8m2
(
n−m
)
.
【点拨】先提公因式，然后整理化简
【解析】解:(1) 原式=
x2
(
a−1
)
−x
(
a−1
)
=x
(
a−1
) (
x−1
)
;
(2)原始=
2m
(
m−n
)
[
(
m−n
)
+4m
]
=2m
(
m−n
) (
5m−n
)
，
题型二 只套不提型
【典例 3】因式分解：
（1）
−9+16 x2
=_____________________；
（2）
25 x2−20 xy +4y2
=_____________________；
（3）
(
x+y
)
2−12
(
x+y
)
+36
=_____________________；
（4）
a2+4a
(
b+c
)
+4
(
b+c
)
2
=____________________.
【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式
【解析】（1）
(
4x+3
) (
4x−3
)
;（2）
(
5x−2y
)
2
;（3）
(
x+y−6
)
2
;（4）
(
a+2b+2c
)
.
【典例 4】因式分解：
（1）
x4−16 y4
;
（2）
(
a2+1
)
2−4a2
;
（3）
(
x2−6
)
2−6
(
x2−6
)
+9
;
（4）
(
x2−x
)
2−
(
x−1
)
2
.
【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式
【解析】解:(1) 原式=
(
x2+4y2
) (
x2−4y2
)
=
(
x2+4y2
)
(
x+2y
) (
x−2y
)
;
(2)原始=
(
a2+2a+1
) (
a2−2a+1
)
=
(
a+1
)
2
(
a−1
)
2
;
(3) 原式=
(
x2−6−3
)
2=
(
x2−9
)
2=
(
x+3
)
2
(
x−3
)
2
;
(4)原始=
(
x2−x+x−1
) (
x2−x−x+1
)
题型三 先提后套型
【典例 5】因式分解：
（1）
ax3−9ax
;
（2）
2x3y2−16 x2y+32 x
;
（3）
1
2
(
3m−n
)
2−2
(
m+3n
)
2
;
（4）
3x2
(
x−2y
)
−18
(
x−2y
)
−27
(
2y−x
)
.
【点拨】先提公因式,然后运用平方差公式或完全平方公式法分解
【解析】解:(1) 原式=
ax
(
x2−9
)
=ax
(
x+3
) (
x−3
)
;
(2)原始=
2x
(
x2y2−8xy+16
)
=2x
(
xy −4
)
;
(3) 原式=
1
2
[
(
3m−n
)
2−4
(
m+3n
)
2
]
=1
2
[
(
3m−n
)
+2
(
m+3n
)
] [
(
3m−n
)
−2
(
m+3n
)
]
=5
2
(
m+n
) (
m−7n
)
;
(4)原始=
3x2
(
x−2y
)
−18 x
(
x−2y
)
+27
(
x−2y
)
=3
(
x−2y
)
(
x2−6x+9
)
=3
(
x−2y
) (
x−3
)
2
题型四 先套后提型
【典例 6】因式分解：
（1）
(
2m−n
)
2−169
(
m+n
)
2
;
（2）
(
2x−3y
)
2+2x
(
2x−3y
)
+x2
.
【点拨】先套用平方差公式或者完全平方公式,然后再提公因式整理化简
【解析】
解:(1) 原式=
[
(
2m−n
)
+13
(
m+n
)
] [
(
2m−n
)
−13
(
m+n
)
]
=−3
(
5m+4n
) (
11 m+4n
)
;
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