专题07 奔驰定理与四心的相关运算及构造圆解决向量问题（原卷版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 07 奔驰定理与四心的相关运算及构造圆解决向量问题
题型一 奔驰定理与四心的相关运算
江苏张家港市期中第 12 题——垂心+奔驰定理（多选）
1．奔驰定理：已知 O是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为
则S， “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的 很相似，故形象地称其为
“奔驰定理”．若 O是锐角△ABC 内的一点，A，B，C是△ABC 的一个内角，且点 O
满足则 ，则（ ）
O
A
B
C
A．O为△ABC 的垂心
B．
C．
D．
2．设点 O是△ABC 外接圆的圆心，AB=3，且 ，则 的值是_________.
3．设 H为 的垂心，且 ，则 _______.
江苏省七市 2021 届高三第一次调研考试第 7题（奔驰定理与三心性质）
4．已知点 P是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：
甲： ； 乙： ；
丙： ； 丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2021.4 福建福州一中高一期中第 8题——构造菱形
5．已知点 O是△ABC 的内心，若 ，则 cos BAC=( )∠
A． B． C. D．
外心向量计算可以构造方程组
6．已知点 O是△ABC 的外心，若 ，则 cos BAC=__________.∠
江西赣州市高一期中第 16 题——外心、重心相关计算
7．中， ， ， 为 的重心， 为 的外心，则 ．
8．（1）已知△ABC 的外心为 O,且AB=5， ，则 ______.
（2）已知△ABC 的重心为 O,且AB=5， ，则 ______.
（3）已知△ABC 的重心为 O,且AB=5， ， ，D为BC 中点，则 ____.
湖北部分重点高中 2021 届高三联考第 11 题（多选）——四心
9．对于给定的△ABC,其外心为 O,重心为 G,垂心为 H,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.过点 G的直线 l交AB、AC 于E、F,若 ， ，则
D. 与 共线
湖北 9+N 联盟高一期中第 12 题（多选）——四心相关运算
10．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被
称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为 O，垂心为 H，重心为 G，且 AB＝2,AC＝3，则
下列说法正确的是( )
A． B．
C． D．
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则
被称为欧拉线定理．设点 O，H分别是△ABC 的外心、垂心，且 M为BC 中点，则（　
）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
山东省枣庄、滕州市高一期中联考第 16 题——外心相关计算
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