专题07 奔驰定理与四心的相关运算及构造圆解决向量问题（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 07 奔驰定理与四心的相关运算及构造圆解决向量问题
题型一 奔驰定理与四心的相关运算
江苏张家港市期中第 12 题——垂心+奔驰定理（多选）
1．奔驰定理：已知 O是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为
则S， “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因
为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的 很相似，故形象地称其为
“奔驰定理”．若 O是锐角△ABC 内的一点，A，B，C是△ABC 的一个内角，且点 O
满足则 ，则（ ）
O
A
B
C
A．O为△ABC 的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
C选项：
同理， ，∴
D选项：如图， ，同理可得
则有
D
H
B
A
2．设点 O是△ABC 外接圆的圆心，AB=3，且 ，则 的值是_________.
【答案】
【解析】
3．设 H为 的垂心，且 ，则 _______.
【答案】
【解析】
[方法 1] H∵为 的垂心 ∴
则有 ，同理可得
[方法 2]奔驰定理
（第 82 题已证明）
设
江苏省七市 2021 届高三第一次调研考试第 7题（奔驰定理与三心性质）
4．已知点 P是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：
甲： ； 乙： ；
丙： ； 丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】
甲：P为△ABC 的重心；
乙： ，即△ABC 为Rt△；
丙：P为△ABC 的外心；
丁：P为△ABC 的垂心（投影转换）
则△ABC 为等边三角形时，三心重合，故选 B.
2021.4 福建福州一中高一期中第 8题——构造菱形
5．已知点 O是△ABC 的内心，若 ，则 cos BAC=( )∠
A． B． C. D．
【答案】C
H
E
F
O
A
C
B
36k
16k
16k
16k
4k
4k
5k
4k
H
E
F
O
A
C
B
α
D
H
C
B
A
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