专题6.21 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 6.21 《平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形
的知识解决四边形的问题；
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算；
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
5.掌握多边形的内角和与外角和定理，并加以运用。
【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 . 平行四边形 ABCD 记
作“
ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”.
特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相
对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线
有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
特别说明：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以
证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系
三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都
能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平
行四边形”的依据.
要点四、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数
量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的 4 个小三角形.因而
每个小三角形的周长为原三角形周长的
1
2
，每个小三角形的面积为原三角
形面积的
1
4
.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点五、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的
长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
要点六、多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于
( 2) 180n
n
°
；
（3）多边形的外角和为 360°．
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1．如图，在 ABCD 中，∠ABC，∠BCD 的平分线分别交 AD 于点
E，F，BE、CF 相交于点 G．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ED 的长．
【答案】(1)见分析； (2)2
【分析】
(1) 根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性
质可得 ， ，进而可得 BE⊥CF；
(2)求出 AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出
AB=AE，同理求出 DF=CD，求出 AE=DF 即可．
(1) 证明：在 ABCD 中
∵
∴
∵∠ABC，∠BCD 的平分线分别交于点 G
∴ ，
∴
∴
∴
(2) 在ABCD 中
∵
∴
∵BE 平分∠ABC
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质，关键是证明出
AE=AB 是解题的关键．
举一反三：
【变式 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和BD 交于点 O， ．
(1)请用尺规完成基本作图：作出 的角平分线交 AC 于点 M，交 CD 交于点 N；
（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 ON，若 ， ，求 的周长．
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