专题6.18 多边形的内角和与外角和（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 6.18 多边形的内角和与外角和（知识讲解）

【学习目标】

1.理解多边形的概念；

2.掌握多边形内角和与外角和公式；

3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的

推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.

【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．

其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2．相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个 n 边形有 n 个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同

一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫

凹多边形．如图：

特别说明：

(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过 n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为

( 3)

n n 

；

(3)过 n 边形的一个顶点的对角线可以把 n 边形分成(n-2)个三角形．

知识点二、多边形内角和

n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

特别说明：

凸多边形凹多边形

(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边

数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于

( 2) 180n

°

；

知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为 360°．

特别说明：

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和． n 边形

的外角和恒等于 360°，它与边数的多少无关；

(2)正 n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于

360

；

(3)多边形的外角和为 360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多

边形边数求各相等外角的度数．

知识点四、镶嵌的认识

知识点 1、

1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形

覆盖(或平面镶嵌).

2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面

图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于

3600

平面密铺的含义:⑴ 平面图形的形状、大小完全相同;⑵ 拼接后彼此之间不留空隙，不能重

叠;⑶ 若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成

3600

,则这些平面图形就能密铺.

知识点 2、:实现平面镶嵌的常用方法

探究一:用一种正多边形镶嵌

设所用正多边形的边数为 n,且在一个顶点处有 k 个正 n 边形.

n,k 皆为正整数,

进而限用一种正 n 边形的镶嵌有三种情况:

正多边形的边数一个顶点处正多边形的个数

3 6

4 4

6 3

探究二:用多种正多边形镶嵌

以正三角形和正四边形为例,设正三角形有 x 个,正四边形有 y 个,

根据限定条件整理,得 2x+3y=12,

即:用 3 个正三角形和 2 个正方形可以镶嵌.

类似可讨论出:用 4 个正三角形和 1 个正六边形可以镶嵌;用 2 个正三角形和 2 个正六边形

可以镶嵌;用 2 个正五边形和 1 个正十边形可以镶嵌,等

探究三：任意多边形的平面镶嵌

取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要相等的边重合，且同一个顶点

处的各个内角之和为 3600。用任意多边形作平面镶嵌，符合条件的有任意三角形或任意四

边形。

【典型例题】

类型一、多边形的内角和问题

1．证明：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

【分析】在 n边形内任取一点 O，连接 O与各顶点的线段把 n边形分成了n个三角形，

然后利用n个三角形的面积减去以O为公共顶点的 n个角的和，即可求证．

已知： n边形 A1A2……An，

求证：，

证明：如图，在 n边形内任取一点 O，连接 O与各顶点的线段把 n边形分成了n个三

角形，

∵n个三角形内角和为 n·180°，以 O为公共顶点的 n个角的和 360°(即一个周角)，

∴n边形内角和为．

【点拨】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n边形的内角和等于

n个三角形的面积减去以O为公共顶点的 n个角的和是解题的关键．

举一反三：

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