专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示(精练）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（解析版）
1. （2021 秋•小店区校级期中）平行四边形 ABCD 中，F为AD 边上的中点，连接 BF 交AC 于点 Q，若
AQ
→
=¿
λ
AB
→
+¿
μ
AD
→
，则 λμ＝（ ）
A．1 B．
5
6
C．
1
3
D．
1
9
【分析】先判断△AFQ∽△CBQ，求出相似比，得到 AQ
¿1
3
AC，再利用平面向量的线性运算即可求解．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD＝BC，
∵F为AD 边上的中点，∴AF
¿1
2
AD，
∵AD∥BC，∴△AFQ∽△CBQ，
∴
AQ
CQ =AF
BC =1
2
，∴AQ
¿1
2
CQ
¿1
3
AC，
∴
AQ
→
=1
3AC
→
=1
3
（
AB
→
+AD
→
）
¿1
3AB
→
+1
3AD
→
，
∵
AQ
→
=¿
λ
AB
→
+¿
μ
AD
→
，
∴λ＝μ
¿1
3
，∴λμ
¿1
9
．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，向量的数乘和线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
2. （2021 秋•朝阳区期中）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．
e
→
1=¿
（0，0），
e
→
2=¿
（1，2）
B．
e
→
1=¿
（3，4），
e
→
2=¿
（1，2）
C．
e
→
1=¿
（3，4），
e
→
2=¿
（6，8）
平面向量基本定理
D．
e
→
1=¿
（3，﹣4），
e
→
2=¿
（1，
−4
3
）
【分析】利用做基底的条件进行判断即可．
【解答】解：对于 A，因为
e
→
1=¿
（0，0），
0
→
与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故 A错误；
对于 C，因为
e
→
1=1
2e
→
2
，两向量共线，不能做基底，故 C错误；
对于 D，因为
e
→
1=−3e
→
2
，两向量共线，不能做基底，故 D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基底，属于基础题．
3. （2021•蕉岭县校级开学）在等边△ABC 中，点 E在中线 CD 上，且 CE＝6ED，则
AE
→
=¿
（ ）
A．
1
7AC
→
+3
7AB
→
B．
13
7AC
→
−3
7AB
→
C．
3
7AC
→
+1
7AB
→
D．
3
7AC
→
−13
7AB
→
【分析】根据向量的加减运算即可求出结果．
【解答】解：∵D为AB 中点，CE＝6ED，
∴
AD
→
=1
2AB
→
，
CE
→
=6
7CD
→
，
∴
AE
→
=AC
→
+CE
→
=AC
→
+6
7CD
→
=AC
→
+6
7(CA
→
+AD
→
)
¿AC
→
−6
7AC
→
+6
7×1
2AB
→
=1
7AC
→
+3
7AB
→
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的加减运算，属于基础题．
4. （2021 春•慈溪市期中）在△ABC 中，点 D在BC 边上，且
BD
→
=2DC
→
，设
AB
→
=a
→
，
AC
→
=b
→
，则
AD
→
可用基底
a
→
，
b
→
表示为（ ）
A．
1
2(a
→
+b
→
)
B．
2
3a
→
+1
3b
→
C．
1
3a
→
+2
3b
→
D．
1
3(a
→
+b
→
)
【分析】根据图形得
AD
→
=AB
→
+BD
→
，结合且
BD
→
=2DC
→
即可解决此题．
【解答】解：
AD
→=AB
→+BD
→=a
→+2
3BC
→=a
→+2
3
（
AC
→
− AB
→
）
¿a
→+2
3
（
b
→
− a
→
）
¿1
3a
→+2
3b
→
．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．
5. （2021 春•临汾月考）在任意四边形 ABCD 中，E，F分别为 AD，BC 的中点，设
AB
→
=a
→
，CD
→
=b
→
，
下列式子正确的是（ ）
A．
a
→
+b
→
=2EF
→
B．
a
→
− b
→
=2EF
→
C．
a
→
+b
→
=EF
→
D．
a
→
− b
→
=EF
→
【分析】根据题意，由向量的加法可得
EF
→
=EA
→
+AB
→
+BF
→
和
EF
→
=ED
→
+DC
→
+CF
→
，两个式子相加，变
形可得答案．
【解答】解：根据题意，如图四边形 ABCD 中，E，F分别为 AD，BC 的中点，
设
AB
→=a
→
，CD
→=b
→
，
则
EF
→
=EA
→
+AB
→
+BF
→
，同时有
EF
→
=ED
→
+DC
→
+CF
→
，
则有 2
EF
→=EA
→+ED
→+AB
→+DC
→+BF
→+CF
→
，
E，F分别为 AD，BC 的中点，则
EA
→
+ED
→
=0
→
，
BF
→
+CF
→
=0
→
，则有
a
→
− b
→
=¿
2
EF
→
，故选：B．
【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，是基础题．
6. （2021 春•九江期末）平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，设
AB
→=a
→
，
BC
→=b
→
，则向量
DO
→=¿
（
）
A．
−1
2a
→
+1
2b
→
B．
1
2a
→
−1
2b
→
C．
2
3a
→
−1
3b
→
D．
1
3a
→
−2
3b
→
【分析】根据向量的运算性质计算即可．
【解答】解：结合题意
DO
→
=1
2DB
→
=1
2
（
a
→
− b
→
）
¿1
2a
→
−1
2b
→
，故选：B．
【点评】本题考查了向量的运算性质，考查转化思想，是基础题．
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