专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示(精讲）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数
λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的 e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【例题1】（2021 春•长清区校级期中）下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（　　）
A．
e
→
1=(−1，2)，e
→
2=(0，0)
B．
e
→
1=(2，−3)，e
→
2=(−1
2，3
4)
C．
e
→
1=(3，1)，e
→
2=(6，2)
D．
e
→
1=(0，2)，e
→
2=(−4，0)
【例题2】（2021 秋•丰台区校级月考）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，若
EB
→
=m AB
→
+n AC
→
，则
m
n=¿
（　　）
A．3 B．
C．﹣3 D．
1
3
【例题3】（2021 秋•河南期中）如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E在线段 OB 上且 OE
¿1
3
OB，若
AE
→
=¿
λ
AB
→
+¿
μ
AD
→
（λ，μ∈R），则 λ﹣μ＝（　　）
A．
1
3
B．
C．1 D．
2
3
【例题4】（多选）（2021 春•江宁区校级月考）在下列向量组中，不可以把向量
a
→
=¿
（3，2）表示出
来的是（　　）
A．
e
→
1=¿
（0，0），
e
→
2=¿
（1，2）
B．
e
→
1=¿
（﹣1，2），
e
→
2=¿
（5，﹣2）
例题精讲
C．
e
→
1=¿
（3，5），
e
→
2=¿
（6，10）
D．
e
→
1=¿
（2，﹣3），
e
→
2=¿
（﹣2，3）
【变式1】 （2021 春•龙岩期末）设
e
→
1，e
→
2
是平面内两个不共线的向量，则向量
a
→
，b
→
可作为基底的是
（　　）
A．
a
→
=e
→
1+e
→
2，b
→
=− e
→
1− e
→
2
B．
a
→
=2e
→
1+e
→
2，b
→
=1
2
e
→
1+1
4
e
→
2
C．
a
→
=e
→
1+e
→
2，b
→
=e
→
1− e
→
2
D．
a
→
=e
→
1−2e
→
2，b
→
=−2e
→
1+4e
→
2
【变式2】 （2021 春•湖北期末）O为▱ABCD 两条对角线的交点，
AB
→
=¿
4
e
→
1
，
BC
→
=¿
6
e
→
2
，则
DO
→
=¿
（　　）
A．2
e
→
1+e
→
2
B．2
e
→
1− e
→
2
C．2
e
→
1+¿
3
e
→
2
D．2
e
→
1−
3
e
→
2
【变式3】 （2021 春•顺义区期末）下列各组向量中，可以作为基底的一组是（　　）
A．
e
→
1=¿
（0，0），
e
→
2=¿
（0，1）
B．
e
→
1=¿
（﹣1，2），
e
→
2=¿
（3，﹣6）
C．
e
→
1=¿
（3，4），
e
→
2=¿
（﹣3，﹣4）
举一反三
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