专题6.2.2平面向量的数量积-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练(精讲）（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

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平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以 O为起点，作＝，＝，那么射线 OA ，OB 的夹角 θ叫做向量与向量的夹
角，其中 0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为 θ，那么我们把 ||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：＝ ||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即：•＝ 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由 cosθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“ ×” 代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是： 0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量 ||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为 0
（3）坐标计算公式：若＝（ x1，y1），＝（ x2，y2），则＝ x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度 || 与在的方向上的投影 ||cosθ的积．
【例题1】（2021 秋•工农区校级期末） 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
， ， ， 的周长等于 　　
A．B．C．D．
【例题2】（2021 秋 • 湖 北 期 末 ） 在 中 ， ， ， 点 满 足 ， 则
　　
A．B．C．3 D．6
【例题3】（2021 秋•大通县期末）在边长为 3的 菱 形 中 ， ， ， 则
　　
A．B．C．D．
【例题4】（多选题）（2021 秋•罗湖区期末）已知点 是边长为 1的正方形 的中心，则下列结
论正确的为 　　
A．B．C．D．
【例题5】（多选题）（2021 秋•泰州期末）在平行四边形 中，若 ， ，则
A．B．
C．D．若 ，
例题精讲
【例题6】（2021 秋•荆州期末）如图，在矩形 中， ， 为边 的中点，若 为
折线段 上的动点，则 的最小值为 　　．
【例题7】（2021 秋•门头沟区期末）在梯形 中， ， ， ，
， 是 的中点，则 　　．
【变式1】 （2021 秋•江门月考）在边长为 3的等边 中，若 ，则 　　
A．B．C．3 D．6
【变式2】 （2021 秋•孝感期中）已知四面体 的所有棱长都等于 ， ， 分别是棱 ， 的
中点，则 等于 　　
A．B．C．D．
【变式3】 （2021 秋•河南月考）在 中， ， ， 为 的中点， ， 交
于 ，则 　　
举一反三
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