专题5.4 分式的基本性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 5.4 分式的基本性质（知识讲解）
【学习目标】
1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算；
2．理解并掌握分式变号的法则；
3．理解并掌握分式的约分、最简分式；
4．对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。
【知识要点】
要点一、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做
分式的基本性质，用式子表示是： （其中 M 是不等于零的整式）.
特别说明：
（1）分式基本性质中的 A、B、M 表示的是整式.其中 B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一
般在解题过程中不另强调；M≠0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质
时，必须重点强调 M≠0 这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范
围有可能发生变化.例如： ，在变形后，字母 的取值范围变大了.
要点二、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其
中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
特别说明：根据分式的基本性质有 ， .根据有理数除法的符号法则有
.分式 与 互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
重要的作用.
要点三、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，
这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），
那么这个分式叫做最简分式.
特别说明：
（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的
系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先
将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点四、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变
分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
特别说明：
（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积
作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分
式而言.
【典型例题】
类型一、判断分式变形是否正确
1、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
【答案】① ；② ；③ ；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的
数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案.
解：① ； ② ；
③ ； ④
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的
三个符号问题是解题的关键.
举一反三：
【变式】填空：（1） ； （2） ．
【答案】（1） ； （2）
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0的整
式，分式的值不，从而求出答案．
解：（1） ；
（2） ．
故答案为：（1） ；（2） ．
【点拨】本题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，
是一道基础题．
类型二、判断分式变形成立条件
2、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） ； （2） ．
【答案】（1）由等式左边的分式的分子分母都乘以 y得到等式右边的分式；（2）由
等式左边的分式的分子分母都除以 x得到等式右边的分式．
【分析】（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以 y，可得答案；
（2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以 x，可得答案．
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