专题5.3 三角函数的应用（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 5.3 三角函数的应用（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2021 秋•海淀区期中）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为 0.3m．若轮子从图中位置向右无
滑动滚动，则当滚动的水平距离为 2.2m时，下列描述正确的是（　　）
（参考数据：7π≈21.991）
A．点 A在轮子的左下位置，距离地面约为 0.15m
B．点 A在轮子的右下位置，距离地面约为 0.15m
C．点 A在轮子的左下位置，距离地面约为 0.26m
D．点 A在轮子的右下位置，距离地面约为 0.04m
【分析】由已知求出轮子滚动的水平距离为 2.2m时点 A转到的角的大小，即可求得答案．
【解答】解：已知轮子的半径 r＝0.3m，轮子滚动一周的水平距离为 2πr＝0.6πm，
又7π≈21.991，∴0.7π≈2.2，
∴0.7π0.6﹣π＝0.1π，
又
0.1 π
0.6 π=1
6
周，∴
1
6×2π=1
3π
，
故A在轮子左下位置，可得轮子距地面距离 h＝0.3 0.3cos60﹣
°=0.3×1
2=0.15
m．
∴点 A在轮子的左下位置，距离地面约为 0.15m．
故选：A．
2．（2021 秋•海淀区校级月考）如图所示，有一半径为 10 米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为 6米，
若水轮每分钟逆时针转 4圈，且水轮上的点 P在t＝0时刻刚刚从水中浮现，则 5秒钟后点 P与水面的距
离是（　　）（结果精确到 0.1 米）
A．9.3 米B．9.9 米C．15.3 米D．15.9 米
【分析】利用三角函数模型设出解析式，根据条件求解．
【解答】解：设水轮上的点 P到水面的距离 y（米）与时间 t（秒）满足函数关系式 y＝Asin（ωt+φ）
+6，
因为水轮半径为 10，水轮的圆心与水面的距离为 6米，
故P离水面的最大距离为 16，
所以 A＝10，
因为水轮每分钟旋转 4圈，
所以 T
¿60
4=¿
15s，
所以
ω=2π
15
，
此时解析式 y＝10sin（
2π
15
t+φ）+6，
因为 t＝0时，y＝0，
代入得 10sinφ+6＝0，
所以 sinφ
．
当t＝5s时，y＝10sin（
2π
15 ×
5+φ）≈15.9．
故选：D．
3．（2021 秋•海淀区校级月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，
晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某
季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
已知港口的水的深度随时间变化符合函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）+B．现有一条货船在吃水深度（船底
与水面的距离）为 4m，安全条例规定至少要有 2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午
12 点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时 0.25m的速度减小，4小时卸完，
则其在港口最多能停放（　　）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
【分析】由已知表格中数据求得 f（x），再由题意可得 f（x）大于等于 6，由此结合卸货时间即可得答
案．
【解答】解：由表格中的数据可知，f（x）max＝7，f（x）min＝3，
则A
¿f¿¿
，B
¿f¿¿
，
由T＝12，∴ω
¿2π
T=π
6
，
故f（x）＝2sin（
π
6
x+φ）+5，
当x＝3时，f（x）＝7，则 2sin（
π
2+¿
φ）+5＝7，
∴2cosφ＝2，即 cosφ＝1，得 φ＝0．
∴f（x）＝2sin
π
6
x+5．
货船需要的安全水深为 4+2＝6米，
由f（x）＝2sin
π
6
x+5＝6，得 sin
π
6x=1
2
，即
π
6x=π
6+2kπ
或
π
6x=5π
6+2kπ
，k∈Z．
∴x＝12k+1 或x＝12k+5，k∈Z．
又该船计划在中午 12 点之后按规定驶入港口，∴当 k＝1时，x＝13，
即该船应在 13 点入港并开始卸货，4小时后为 17 点，此时水深为 6米，
货船需要离港，则其在港口最多能停放 4小时．
故选：A．
4．（2020 春•焦作期中）如图为一直径为 6m的水轮，水轮圆心 O距水面 2m，已知水轮每分钟转 2圈，水
轮上的点 P到水面的距离 y（m）与时间 x（s）满足关系式 y＝Asin（ωx+φ）+2（A＞0，ω＞0，y＜0表
示P在水面下），则有（　　）
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