专题5.2 三角恒等变换（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 5.2 三角恒等变换（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2021 秋•杭州期中）若
sinα+cosα=2
3
，则 sin2α＝（　　）
A．
4
9
B．
−4
9
C．
5
9
D．
−5
9
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为
sinα+cosα=2
3
，
所以两边平方，可得 sin2α+cos2α+2sinαcosα
¿4
9
，可得 1+sin2α
，
则sin2α
¿−5
9
．
故选：D．
2．（2021 秋•卡若区校级期中）计算
(cos π
12 +sin π
12 )(cos π
12 −sin π
12 )
值为（　　）
A．
−❑
√
3
2
B．
1
2
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
3
2
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．
【解答】解：
(cos π
12 +sin π
12 )(cos π
12 −sin π
12 )=cos2π
12 −sin2π
12 =cos π
6=❑
√
3
2
；
故选：D．
3．（2021 秋•肇东市校级期中）若 tanα＝2，则
cos 2 α
1+sin 2α=¿
（　　）
A．
3
4
B．
1
2
C．
−1
3
D．
−3
5
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．
【解答】解：若 tanα＝2，则
cos 2 α
1+sin 2α=cos2α−sin2α
sin2α+2sinαcosα +cos2α=1−tan 2α
tan2α+2tanα +1=−1
3
；
故选：C．
4．（2021 秋•成都月考）已知角 θ的终边过点 A（6，a），且 sin（θ3﹣π）
¿4
5
，则 tan（2
θ−π
4
）＝（
）
A．
17
31
B．
−31
17
C．
31
7
D．
−7
31
【分析】利用诱导公式求出 sinθ，根据角 θ的终边过点 A（6，a）可知 cosθ为正数，计算 cosθ，从而求
得tanθ，tan2θ，将所求式子用两角差正切公式展开，代入运算即可．
【解答】解：因为 sin（θ3﹣π）
¿4
5
，
所以 sin（θ+π）
¿4
5
，
则sinθ
¿−4
5
，
由于角 θ的终边过点 A（6，a），
A点位于 y轴右侧，
故由三角函数定义可知，cosθ＞0，
所以 cosθ
¿3
5
，
所以 tan
θ=−4
3
，
所以 tan2θ
¿2tanθ
1−tan2θ=
2×(−4
3)
1−¿¿
，
所以 tan（2
θ−π
4
）
¿tan 2θ−1
1+tan 2 θ=
24
7−1
1+24
7
=17
31
，
故选：A．
5．（2021 秋•疏勒县校级期中）化简
❑
√
1
2+1
2
❑
√
1
2+1
2
cos 2α(π＜α＜3π
2)
的结果为（　　）
A．
sin α
2
B．
−sin α
2
C．
cos α
2
D．
−cos α
2
【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式，三角函数的在各个象限中的符号，计算求得结果．
【解答】解：∵π＜α
＜3π
2
， ∴
❑
√
1
2+1
2
❑
√
1
2+1
2
cos 2α=❑
√
1
2+1
2
❑
√
1
2+1
2(2cos2α−1)=❑
√
1
2+1
2⋅∨cosα∨¿¿
¿❑
√
1
2−1
2cosα=❑
√
1
2−1
2(1−2 sin2α
2)=¿
|sin
α
2
|＝sin
α
2
，
故选：A．
6．（2021 秋•濂溪区校级月考）若函数
f(x)=❑
√
3sinxcosx +co s2x−1
2
，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为
π
2
B．f（x）的图像的一条对称轴方程为
x=5
12 π
C．f（x）的一个对称中心为
(π
6，0)
D．f（x）的单调递增区间为
[kπ−π
3，kπ +π
6](k∈Z)
【分析】由二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式，化简 f（x），分别由三角函数的周期公式
和对称轴、对称中心和单调区间，可得结论．
【解答】解：函数
f(x)=❑
√
3sinxcosx +co s2x−1
2=❑
√
3
2
sin2x
+1
2
cos2x＝sin（2x
+π
6
），
可得 f（x）的最小正周期为 T
¿2π
2=¿
π，故 A错误；
由f（
5π
12
）＝sin（
5π
6+π
6
）＝0不为最值，故 B错误；
由f（
π
6
）＝sin（
π
3+π
6
）＝1≠0，故 C错误；
由2kπ
−π
2≤
2x
+π
6≤
2kπ
+π
2
，k∈Z，解得 kπ
−π
3≤
x≤kπ
+π
6
，
则f（x）的增区间为[kπ
−π
3
，kπ
+π
6
]（k∈Z），故 D正确．
故选：D．
7．（2021 秋•浦江县校级月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆
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