专题05 旋转中的半角模型-2018-2019学年九年级数学人教版方法技巧专练（解析版）

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模型示例

已知如图：

② ∠2= ∠AOB；

② OA=OB.

解题策略

连接 FB，将△FOB 绕点 O 旋转

至△F′OA 的位置，连接 F′E、 FE，

可得△OEF′≌△OEF.

模型分析

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是 90°含 45°，120°含 60°.

针对训练

1. （ 2018• 遂宁）已知如图，在正方形 ABCD 中， AD=4 ， E ， F 分别是 CD ， BC 上的一点，且

∠EAF=45°，EC=1，将△ADE 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90°后与△ABG 重合，连接 EF，过点 B 作 BM∥AG，

交 AF 于点 M，则以下结论：① DE+BF=EF，② BF= ，③ AF= ，④ S△MBF= 中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【答案】D

解：∵AG=AE，∠FAE=∠FAG=45°，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG，

∴EF=FG，

∵DE=BG，

∴EF=FG=BG+FB=DE+BF，故①正确，

∵BC=CD=AD=4，EC=1，

∴DE=3，设 BF=x，则 EF=x+3，CF=4﹣x，

在 Rt△ECF 中，（x+3）2=（4﹣x）2+12，

解得 x= ，

∴BF= ，AF= = ，故②正确，③错误，

∵BM∥AG，

∴△FBM∽△FGA，

∴ =（）2，

∴S△FBM= ，故④正确，

故选：D．学&科网

【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2．（1）如图①，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且

∠EAF= ∠BAD．请直接写出线段 EF，BE，FD 之间的数量关系：　　；

（2）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且∠EA F=

∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

（3）在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F 分别是边 BC，CD 所在直线上的点，且∠EAF=

∠BAD．请直接写出线段 EF，BE，FD 之间的数量关系：　　．

【答案】（1）EF=BE+FD.（2）成立，理由见解析.（3）EF=BE﹣FD 或 EF=FD﹣BE.

（2）如图 2，同理可得：EF=BE+DF；

（3）如图 3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF 和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF=BE

﹣DF．

解：（1）如图 1，延长 EB 到 G，使 B G=DF，连接 AG．

∵在△ABG 与△ADF 中，

，[来源:学科网]

∴△ABG≌△ADF（SAS）．

∴AG=AF，∠1=∠2，

∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD=∠EAF．

∴∠GAE=∠EAF．

又 AE=AE，

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