专题05 二次函数与方程、不等式（原卷版）-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）

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专题 05 二次函数与方程、不等式
一．定点定解问题（共 6小题）
1．已知关于 x的一元二次方程：ax2﹣（4a+k）x+4a+2k＝0（a＜0）．
（1）求证：该方程始终有两个实数根．
（2）已知该方程有一个固定解，求出这个解．
（3）若﹣4≤k≤ 2﹣，设方程两根为 x1，x2，且 x1＜n＜x2，当整数 n至少可取到 2个整数，求 a的
取值范围．
2．已知二次函数 y＝mx22﹣（m+1）x+4（m为常数，且 m≠0）．
（1）求证：不论 m为何值，该函数的图象与 x轴总有公共点；
（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．
3．已知函数 y＝x2+（m3﹣）x+1 2﹣m（m为常数）．
（1）求证：不论 m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点．
（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．
4．对于函数 y＝mx2﹣（2m1﹣）x1﹣，有以下结论，请判断这些结论正确与否，并说明理由．
（1）无论 m取何值，函数图象与 x轴总有交点．
（2）若 m＜0，则当 x≥1 时，y随x的增大而减小．
（3）若函数有最小值，则最小值必为负数．
（4）无论 m取何值，函数图象总经过两个定点．
5．定义[a，b，c]为函数 y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m1﹣，m+1，﹣2m]的函数的一
些结论，其中不正确的是（　　）
A．当 m＝2时，函数图象的顶点坐标为（
−3
2，−25
4
）
B．当 m＞1时，函数图象截 x轴所得的线段长大于 3
C．当 m＜0时，函数在 x
＜1
2
时，y随x的增大而增大
D．不论 m取何值，函数图象经过两个定点
6．抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过 A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结
论：
①一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根为 x1＝2，x2＝﹣4；
②对于任意实数 t，总有 at2+bt≤a﹣b；
③若点 C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则 y1＜y2；
④对于 a的每一个确定值，若一元二次方程 ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则 p
的值只有两个．
其中正确的结论有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．函数与 x标轴交点（共 12 小题）
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则 k＝　 　．
8．抛物线 y＝a（x
−1
2
）2+k经过 A（﹣3，0），B（m，0）两点，则关于 x的一元二次方程 a（x
−3
2
）2+k＝0的解是　 　．
9．已知二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量 x与函数 y的部分对应值列表如下：
x…﹣3﹣2﹣10…
y…0﹣3﹣4﹣3…
则关于 x的方程 ax2+bx+c＝0的解是　 　．
10．判断下列二次函数的图象与 x轴是否有公共点．如果有，有几个公共点？
（1）y
¿−1
4
x2+x1﹣；
（2）y＝x2+x+2；
（3）y＝x23﹣x4﹣．
11．对二次函数 y＝ax22﹣ax+b（a≠0），下列说法：
①对任意实数 m，都有 x1＝1﹣m与x2＝1+m对应的函数值相等；
②在0≤x≤3 范围内，函数存在最大值 m，最小值 n，则 m﹣n＝4a；
③设点 A（4，y1），B（t，y2）均在函数的图象上，若 y1＞y2，则 t＜﹣2或t＞4；
④若函数的图象都位于 x轴的上方，则方程 ax2﹣bx+1
¿1
a
总有两个不相等的实数根．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①④ B．①③ C．①② D．①③④
12．抛物线 y＝x24﹣x﹣m2+1（m是常数）与坐标轴交点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2或3 D．3
13．抛物线的部分图象如图所示，它与 x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为 x＝﹣1，当 y
＞0时，则 x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
14．二次函数 y＝x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x＝1．若关于 x的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t
为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有解，则 t的取值范围是（　　）
A．t≥ 1﹣B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝x2+bx+c的图象与 x轴y轴的交点分别为
（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象当﹣4＜x＜1时，直接写出 y的取值范围．
16．如图，若二次函数 y＝x2﹣x2﹣的图象与 x轴交于 A，B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交
于C点．
（1）求 A，B两点的坐标；
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