专题05 二次函数与方程、不等式（解析版）-2021-2022学年九年级数学下册高频考点提分精练（苏科版）

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专题 05 二次函数与方程、不等式

一．定点定解问题（共 6小题）

1．已知关于 x的一元二次方程：ax2﹣（4a+k）x+4a+2k＝0（a＜0）．

（1）求证：该方程始终有两个实数根．

（2）已知该方程有一个固定解，求出这个解．

（3）若﹣4≤k≤ 2﹣，设方程两根为 x1，x2，且 x1＜n＜x2，当整数 n至少可取到 2个整数，求 a的

取值范围．

思路分析:（1）求判别式，是 Δ≥0 即可；

（2）方法一利用求根公式来解；

（3）由方程的一根为 2，另一个根 x2＝2

，由 x1＜n＜x2，可得不等式 2＜n＜x2＝2

，利用

n可取两个整数，则 2

a＞

4，再利用 k的范围求 a的范围即可．

答案详解:（1）证明：∵Δ＝（4a+k）24﹣a（4a+2k）＝k2≥0，

∴该方程始终有两个实数根．

（2）∵Δ≥0，

∴根据公式法可得：x

¿−b ±❑

√

△

2a=4a+k ± k

，

∴x1

¿4a+k−k

2a=¿

2，x2

¿4a+k+k

2a=¿

，

∴方程的固定解为 x＝2，

（3）由（2）的 x1＝2，x2＝2

，

∵﹣4≤k≤ 2﹣，a＜0，

∴

a＞

0，

∴2

a＞

2，即 2＜n＜x2＝2

，

∵整数 n至少可取到 2个整数，

∴2

a−¿

2＞2，

∴

a＞

2，

∴k＜2a，

∴a

＞k

，

∵﹣4≤k≤ 2﹣，

∴﹣2

≤k

2≤−¿

1，

∴a＞﹣1，

∴﹣1＜a＜0．

2．已知二次函数 y＝mx22﹣（m+1）x+4（m为常数，且 m≠0）．

（1）求证：不论 m为何值，该函数的图象与 x轴总有公共点；

（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，求两个定点的坐标．

思路分析:（1）Δ＝b24﹣ac＝4（m1﹣）2≥0，即可求解；

（2）由 y＝mx22﹣（m+1）x+4＝（x2﹣）（mx 2﹣），所以当 x＝0时，y＝4，当 x2﹣＝0，即 x

＝2时，y＝0，即可求得定点坐标．

答案详解:（1）证明：令 y＝0，即 mx22﹣（m+1）x+4＝0，

b24﹣ac＝[ 2﹣（m+1）]24﹣m×4＝4m28﹣m+4＝4（m1﹣）2≥0，

∴方程总有实数根，

∴该函数的图像与 x轴总有公共点；

（2）解：∵y＝mx22﹣（m+1）x+4＝（x2﹣）（mx 2﹣）．

因为该函数的图象都会经过两个定点，所以当x＝0时，y＝4，

当x2﹣＝0，即 x＝2时，y＝0，所以该函数图象始终过定点（0，4）、（2，0）．

3．已知函数 y＝x2+（m3﹣）x+1 2﹣m（m为常数）．

（1）求证：不论 m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点．

（2）不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标．

思路分析:（1）Δ＝b24﹣ac＝（m3﹣）24﹣（1 2﹣m）＞0，即可求解；

（2）y＝（x2﹣）m+x23﹣x+1，若该函数图象经过一定点，则 x2﹣＝0．

答案详解:（1）证明：令 y＝0，则 x2+（m3﹣）x+1 2﹣m＝0．因为 a＝1，b＝m3﹣，c＝1﹣

2m，所以 b24﹣ac＝（m3﹣）24﹣（1 2﹣m）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0．

所以方程有两个不相等的实数根．所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点．

（2）解：y＝x2+（m3﹣）x+1 2﹣m＝（x2﹣）m+x23﹣x+1．因为该函数的图象都会经过一个定

点，所以 x2﹣＝0，

解得 x＝2．

当x＝2 时，y＝﹣1．所以该函数图象始终过定点（2，﹣1）．

4．对于函数 y＝mx2﹣（2m1﹣）x1﹣，有以下结论，请判断这些结论正确与否，并说明理由．

（1）无论 m取何值，函数图象与 x轴总有交点．

（2）若 m＜0，则当 x≥1 时，y随x的增大而减小．

（3）若函数有最小值，则最小值必为负数．

（4）无论 m取何值，函数图象总经过两个定点．

思路分析:（1）分 m＝0、m≠0 两种情况，分别求解即可；

（2）函数的对称轴为 x

¿2m−1

2m=¿

−1

2m＞

1，而 m＜0，抛物线开口向下，即可求解；

（3）若函数有最小值，则 m＞0，当 x＝1

−1

时，函数取得最小值，y＝c

−b2

4a=−4m2+1

4m＜

0，

即可求解；

（4）y＝mx2﹣（2m1﹣）x1﹣＝m（x22﹣x）+x1﹣，令 x22﹣x＝0，解得 x＝0或2，即可求解．

答案详解:解：（1）当 m＝0时，y＝mx2﹣（2m1﹣）x1﹣＝x1﹣，数图象与 x轴有交点；

当m≠0 时，△＝（1 2﹣m）24﹣m×（﹣1）＝4m2+1＞0，所以函数图象与 x轴有 2个交点交点，

所以（1）正确；

（2）函数的对称轴为 x

¿2m−1

2m=¿

−1

2m＞

1，

∵m＜0，抛物线开口向下，所以当x≥1 时，y随x的增大既可能增大也可能减小，所以（2）错

误；

（3）若函数有最小值，则 m＞0，

当x＝1

−1

时，函数取得最小值，y＝c

−b2

4a=−4m2+1

4m＜

0，所以最小值必为负数，所以（3）

正确；

（4）y＝mx2﹣（2m1﹣）x1﹣＝m（x22﹣x）+x1﹣，

令x22﹣x＝0，解得 x＝0或2，所以抛物线过点（0，﹣1）或（2，1），所以（4）正确．

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