专题4.15 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.15 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）
【知识点一】因式分解与整式乘法的识别
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
【知识点二】因式分解的方法
（1）提取公因式法：
ma +mb +mc=m(a+b+c)
（2）运用公式法：
平方差公式：
a2−b2=(a+b)(a−b)
；完全平方公式：
a2±2ab+b2=(a±b)2
（3）十字相乘法：
x2+( a+b)x+ab=( x+a)( x+b)
（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若
ax2+bx +c=0(a≠0)
的两个根是
x1
、
x2
，则有：
【知识点三】因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1．对于① ，② 从左到右的变形，表述
正确的是（）
A．都是因式分解 B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，
也叫分解因式）判断即可．
解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故选：D．
【点拨】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化
为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
举一反三：
【变式 1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案．
解：A、 ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B、 ，从左到右是因式分解，符合题意；
C、 ，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误；
D、 ，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．
【变式 2】下列各因式分解的结果正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根
据定义依次判断即可．
解： =a（a+1）（a-1），故 A错误；
，故 B错误；
，故 C正确；
不能分解因式，故 D错误，
故选：C．
【点拨】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是
解题的关键．
类型二、因式分解
2．因式分解：（1） ； （2）
【答案】（1） ； （2） ．
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
解：（1）原式=
=
（2）原式=
=
【点拨】本题考查公因式法和公式法的综合运用，一个多项式有公因式先提取公因
式，然后再用其他的方法进行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
举一反三：
【变式 1】（1）计算： ；（2）因式分解： ．
【答案】（1）6a＋13； （2）2x（3x－2y）
【分析】（1）分别运用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可完成；
（2）用提公因式法即可分解因式．
解：（1）原式＝4－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋13；
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