专题4.8三角形有关角的计算与证明问题（重难点培优）-2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】
2021-2022 学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 4.8 三角形有关角的计算与证明问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共 24 小题）
1．（2021 秋•安庆期末）∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，且 BE、CE 交于点
E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC，根据角平分线的定义、三角形的外角
性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD 是△ABC 的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠2＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ACD，
∴∠E＝∠4 2﹣∠ ＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A＝×58°＝29°；
（2）∠A与∠E的关系是：∠E＝ ∠A，
理由如下：∵∠ACD 是△ABC 的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠2＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ACD，
∴∠E＝∠4 2﹣∠ ＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠A．
2．（2021 秋•西乡县期末）如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB，∠A＝65°，∠BCD＝30°，求∠B，∠ADC
的度数．
【分析】根据角平分线的定义求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠B，再根据三角形的外角性质
求出∠ADC．
【解答】解：∵CD 平分∠ACB，∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝2×30°＝60°，
∵∠A＝65°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180° 65° 60°﹣ ﹣ ＝55°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝55°+30°＝85°．
∴∠B，∠ADC 的度数分别是 55°，85°．
3．（2021 春•西山区期末）如图所示，在△ABC 中，D是BC 边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝
63°，求∠DAC 的度数．
【分析】△ABD 中，由三角形的外角性质知∠3＝2 2∠，因此∠4＝2 2∠，从而可在△BAC 中，根据三
角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC 中，由三角形内角和定理求出∠DAC 的度数．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．
因为∠BAC＝63°，
所以∠2+ 4∠＝117°，即 x+2x＝117°，
所以 x＝39°；
所以∠3＝∠4＝78°，
∠DAC＝180° 3 4﹣∠ ﹣∠ ＝24°．
4．（2021 春•沙坪坝区期中）如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且 CE 交BA 的延长线于点 E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC 的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的
外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE 平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
5．（2020 秋•巩义市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B和∠C应分别是 32°和21°，检验
工人量得∠BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说出零件不合格的理由．
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