专题4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）
【学习目标】
1. 熟练掌握首项系数为 1 的形如
pqxqpx )(
2
型的二次三项式的因式分解.
2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非 1 的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因
式分解.
【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式
2
x bx c 
，若存在
pq c
p q b
 
，则
 
2
x bx c x p x q  
特别说明：
（1）在对
2
x bx c 
分解因式时，要先从常数项
c
的正、负入手，若
0c
，则
p q、
同
号(若
0c
，则
异号)，然后依据一次项系数
b
的正负再确定
p q、
的符号
（2）若
2
x bx c 
中的
b c、
为整数时，要先将
c
分解成两个整数的积(要考虑到分解的各
种可能)，然后看这两个整数之和能否等于
b
，直到凑对为止.
要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法
在二次三项式
2
ax bx c 
(
a
≠0)中，如果二次项系数
a
可以分解成两个因数之积，
即
1 2
a a a
，常数项
c
可以分解成两个因数之积，即
1 2
c c c
，把
1 2 1 2
a a c c， ， ，
排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到
1 2 2 1
a c a c
，若它正好等于二次三项式
2
ax bx c 
的
一次项系数
b
，即
1 2 2 1
a c a c b 
，那么二次三 项式就可以分 解为两个因式
1 1
a x c
与
2 2
a x c
之积，即
 
2
1 1 2 2
ax bx c a x c a x c  
.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数
a
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项
式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【典型例题】
类型一、单十字相乘法
1、阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， ．
反过来，就得到 的因式分解形式，即 ．把这个多项式
的二次项系数 1分解为 ，常数项 10 分解为 ，先将分解的二次项系数 1，1分
别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下
角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数 （如图 1）．
像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再
分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，
使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的
方法，叫做十字相乘法．
例如，将二次三项式 分解因式，它的“十字”如图 2：
所以， ．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1) 　　；
(2) 　　；
(3) 　　．
【答案】(1)（x+2）（x+3）；(2)（2x-1）（x-3）；(3)（x+2）（x-m）
【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．
(1) 解：
由上图可知：x2+5x+6=（x+2）（x+3），
故答案为：（x+2）（x+3）；
(2) 解：
由上图可知：2x2-7x+3=（2x-1）（x-3），
故答案为：（2x-1）（x-3）；
(3) 解：
由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），
故答案为：（x+2）（x-m）．
【点拨】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．
举一反三：
【变式 1】提出问题：你能把多项式 因式分解吗？
探究问题：如图 1所示，设 a，b为常数，由面积相等可得：
，将该式从右到左使用，就可以对形如
的多项式进行因式分解即 ．观察多项式
的特征是二次项系数为 1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
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