专题4.4 因式分解-公式法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.4 因式分解-公式法（知识讲解）
【学习目标】
1. 能运用平方差公式、完全平方公式把简单的多项式进行因式分解；
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯；
4.能运用平方差公式和完全平方公式的因式分解解决实际问题。
【知识要点】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
  
2 2
a b a b a b  
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数
（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以是单项式
或多项式.
要点二、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
 
2
2 2
2a ab b a b   
，
 
2
2 2
2a ab b a b   
.
形如
2 2
2a ab b 
，
2 2
2a ab b 
的式子叫做完全平方式.
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数
之积的 2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母
a
和
b
的广泛意义，
a
、
b
可以是字母，也可以是单项式
或多项式.
要点三、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点四、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、判断能否用公式法因式分解
1、下列各式中，不能分解因式的是（）
A．—a2+b2；B．x2+4xy+y2；C．a2— a+ ；D．x2+2x+4．
【答案】D
【分析】应用公式分解时用的公式主要有平方差公式，完全平方公式．分
析各选项看能不能用这两个公式分解以及是否能提取公因式．
解：A、用平方差公式可分解为(b+a)(b−a)，不符合题意；
B、用完全平方公式可分解为：(，不符合题意；
C、用完全平方公式可分解为： ，不符合题意
D、不能分解，当中间项为±4x时才可以用完全平方公式分解．
故选：D．
【点拨】本题主要考查应用公式法进行因式分解，在分解过程中主要用到
的有平方差公式和完全平方公式．
举一反三：
【变式 1】 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2
C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+1
【答案】D
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判
断后利用排除法求解．
解：A、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题
意；
B、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，
不符合题意；
C、 ，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分
解，不符合题意；
D、 ，可以利用平方差公式进行分解，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解时，多项
式需满足的结构特征是解题关键．
【变式 2】 下列各式能用公式法因式分解的是（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可．
解：A、 ，故本选项正确；
B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项
错误；
C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的 2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项
错误；
D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点
是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的 2倍，熟记公式结构是求解的关键．
类型二、运用平方差公式进行因式分解
2、因式分解：(1) ； (2) ．
【答案】(1)4（x＋1）（x－1）
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