专题4.3 复合方程的零点（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 4.3 复合方程的零点（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2021 秋•杨浦区校级月考）已知函数 y＝f（x）的定义域为（0，+∞），满足对任意 x∈（0，+∞），恒
有f[f（x）
−1
x
]＝4，若函数 y＝f（x）﹣4的零点个数为有限的 n（n∈N*）个，则 n的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可知 f（x）
−1
x
为一个大于零常数，设这个常数为 m（m＞0），则 f（x）
−1
x=¿
m，且
f（m）＝4，从而求出 m的值，函数 y＝f（x）﹣4的零点个数，即为方程 f（x）＝4的根的个数，即 m
的值的个数，从而求出结果．
【解答】解：∵满足对任意 x∈（0，+∞），恒有 f[f（x）
−1
x
]＝4，
∴f（x）
−1
x
为一个大于零常数，设这个常数为 m（m＞0），
则f（x）
−1
x=¿
m，且 f（m）＝4，
∴f（x）
¿1
x+¿
m，
再令 x＝m得，f（m）
¿1
m+¿
m＝4，
整理得，m24﹣m+1＝0，
解得：m＝2
±❑
√
3
，
函数 y＝f（x）﹣4的零点个数，即为方程 f（x）＝4的根的个数，即 m的值的个数，
∴n的最大值为 2，
故选：B．
2． （ 2021 秋 •上 高 县 校 级 月考 ） 已 知 函 数
， 若 关 于 x的 函 数 y＝2f2（x）
+2bf（x）+1 有6个不同的零点，则实数 b的取值范围是（　　）
A．b
＜−3
2
或b
＞❑
√
2
B．
−3
2＜b＜−❑
√
2
C．b
＜−3
2
或b＞0 D．
−3
2＜
b＜0
【分析】作出函数 f（x）的大致图像，设 f（x）＝t，由图像可知关于 x的函数 y＝2f2（x）+2bf（x）+1
有6个不同的零点，等价于关于 t的方程 2t2+2bt+1＝0在（0，1）上有两个不相等的根，再利用二次函
数的根的分布列出不等式组，解出 b的取值范围即可．
【解答】解：作出函数 f（x）的大致图像，如图所示：
设f（x）＝t，则当 t＝1或t＜0时，方程 f（x）＝t只有 1个解，
当t＝0时，方程 f（x）＝t有2个解，
当0＜t＜1时，方程 f（x）＝t有3个解，
当t＞1时，方程 f（x）＝t无解，
∵关于 x的函数 y＝2f2（x）+2bf（x）+1 有6个不同的零点，
∴关于 t的方程 2t2+2bt+1＝0在（0，1）上有两个不相等的根，
∴
{
△=4b2−8＞0
0＜−b
2＜1
2+2b+1＞0
，解得：
−3
2＜b＜−❑
√
2
，
即实数 b的取值范围是（
−3
2
，
−❑
√
2
），
故选：B．
3． （ 2021• 华 蓥 市 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 f（x） 是 定 义 域 为 R的 偶 函 数 ， 当 x≥0 时 ， f（x）
¿
{
−x2+2x+1
2，0≤ x ≤ 2
lo g4x，x＞2
，若关于 x的方程 m•[f（x）]2+n•f（x）+1＝0恰有 7个不同的实数根，那么 m
﹣n的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作出 f（x）的图象，令 f（x）＝t，根据关于 x的方程 m•[f（x）]2+n•f（x）+1＝0恰有 7个不同
的实数根，可得
t1=1
2，t2=3
2
，结合韦达定理即可求解 m﹣n的值．
【解答】解：函数 f（x）是定义域为 R的偶函数，当 x≥0 时，f（x）
¿
{
−x2+2x+1
2，0≤ x ≤ 2
lo g4x，x＞2
，
作出 f（x）的图象，
令f（x）＝t，根据关于 x的方程 m•[f（x）]2+n•f（x）+1＝0恰有 7个不同的实数根，
可得
t1=1
2，t2=3
2
，
由韦达定理，可得
t1+t2=−n
m
，
t1⋅t2=1
m
，
解得
m=4
3
，
n=−8
3
∴m﹣n＝4．
故选：D．
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