专题4.2 函数零点性质（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 4.2 函数零点性质（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2021 秋•建湖县校级月考）若曲线
y=
{
2x−4，x＞a
x2−4x+3，x≤ a
与x轴有且只有 2个交点，则实数 a的取值
范围是（　　）
A．1≤a≤2 B．a≥3 C．1≤a≤2 或a≥3 D．1≤a＜2或a≥3
【分析】作出函数 y＝2x4﹣与y＝（x1﹣）（x3﹣）的图像，对参数分类讨论即可得到结论．
【解答】解：作出函数 y＝2x4﹣与y＝（x1﹣）（x3﹣）的图像，如下：
由图可知，当 a＜1时，只有 B一个零点；
当1≤a＜2时，有 A，B两个零点；
当2≤a＜3时，有 A一个零点；
当a≥3 时，有 A，C两个零点；
综上，实数 a的取值范围是 1≤a＜2或a≥3，
故选：D．
2．（2021 春•凉州区校级期末）已知函数 f（x）
¿
{
2¿x∨¿，x≤ 0¿3
x，x＞0
，若方程 f（x）＝k有且仅有两个
不等实根，则实数 k的取值范围是（　　）
A．k≥1 B．1≤k＜3 C．0＜k＜1 D．k≤3
【分析】将方程 f（x）＝k有且仅有两个不等实根，转化为函数 y＝k与函数 y＝f（x）的图象有且仅有
两个交点，作出图象，由图象即可得到 k的范围．
【解答】解：由题意作出函数 f（x）的图象，如图，
因为方程 f（x）＝k有且仅有两个不等实根，
所以函数 y＝k与函数 y＝f（x）的图象有且仅有两个交点，
由函数 y＝f（x）和 y＝k的图象可得，k≥1．
故选：A．
3．（2021 秋•门头沟区校级月考）若函数 f（x）＝|logax| 2﹣﹣x（a＞0且a≠1）的两个零点是 m、n，则（
）
A．mn＝1 B．mn＞1 C．0＜mn＜1 D．以上都不对
【分析】结合图象得出|logam|和|logan|的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案．
【解答】解：当 a＞1时，
函数 f（x）＝|logax| 2﹣﹣x（a＞0且a≠1）有两个零点，
即y＝|logax|与y＝2﹣x有两个交点，
根据图知两交点的横坐标即为函数数 f（x）＝|logax| 2﹣﹣x（a＞0且a≠1）的两个零点 m、n，
不妨设 m＜n，
∴0＜m＜1＜n，
又y＝2﹣x为减函数，2﹣m＞2﹣n，
所以|logam|＞|logan|，
∴﹣logam＞logan，∴logam+logan＜0
loganm＜loga1，∴0＜mn＜1，
当0＜a＜1时，同理可得 0＜mn＜1，
故选：C．
4．（2021 秋•五华区月考）设 f（x）是定义域为 R的奇函数，且 f（2+x）＝f（﹣x），当 x∈[1，2]时，
f（x）＝ax2﹣+b，f（1）+f（2）＝3．将函数 g（x）＝f（x）﹣1的正零点从小到大排序，则 g（x）的第
4个正零点为（　　）
A．
7
2
B．
9
2
C．
11
2
D．
【分析】由题意可知 f（0）＝0，所以 f（2）＝0，从而得到 f（1）＝3，可求出 a，b的值，得到函数
f（x）在[1，2]上的解析式，由 f（2+x）＝f（﹣x）结合函数的奇偶性，可得到函数 f（x）的图像关于直
线x＝1对称，且周期为 4，从而可以画出函数 f（x）的大致图像，函数 g（x）＝f（x）﹣1的正零点，
等价于函数 y＝f（x）与 y＝1在y轴右侧交点的横坐标，数形结合即可求出结果．
【解答】解：∵f（x）是定义域为 R的奇函数，∴f（0）＝0，
∵f（2+x）＝f（﹣x），∴令 x＝0得，f（2）＝f（0）＝0，
∴f（1）＝3，
即
{
a0+b=0
a−1+b=3
，解得
{
a=1
4
b=−1
，
∴当 x∈[1，2]时，f（x）
¿¿
，
∵f（2+x）＝f（﹣x），∴函数 f（x）的图像关于直线 x＝1对称，
又∵f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴函数 f（x）是周期为 4的周期函数，
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